Вопрос 6.

Произведение случайных событий. Теорема умнажений вероятностей зависимых и независимых событий. Условная вероятность, и её вычесление, свойства.

1)Случайное событие- это событие, которое в результате опыта может произойти, а может нет.

Произведением событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одновременно событиям A и B. Обозначается AB.

2) Теорема умножения вероятностей независимых событий P(AB)=P(A)*P(B)

Теорема умножения вероятностей зависимых событий P(AB)=P(A)*P(B/A)=P(B)*P(A/B)

P(B/A) вероятность события B при условии, что произошло событие A – условная вероятность.

Условной вероятностью события А при условии, что наступило событие В, называется отношение числа k тех благоприятствующих А исходов, которые и благоприятствуют В, к числу m всех исходов, благоприятствующих В.

Условная вероятность обозначается  .

По определению  ; если В - невозможное событие, то   не определена.

Заметим, что

,

но

,  .

Поэтому

.

Вопрос 7.

Зависимые и независимые события. Противоположные события. Теорема о вероятности появления хотя бы одного из событий, независимых совокупностей.

1)События А и В называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, появилось или нет другое событие. В противном случае события называют зависимыми.

Теорема умножения вероятностей независимых событий P(AB)=P(A)*P(B)

Теорема умножения вероятностей зависимых событий P(AB)=P(A)*P(B/A)=P(B)*P(A/B), если А и В – зависимы события.

Несколько событий называются независимыми в совокупности или просто независимыми, если независимы каждые два из них и независимы каждое собитие и любые произведения остальных событий. Вероятность произведения А1*А2…*Аn независимых событий.

P(A1*A2* … An)=p (A1)*p(A2) *…*p(An)

Если требования независимости событий не выполнены, то события A1, A2, …, An называются зависимыми и вероятность их произведения подсчитывается по формуле:

P(A1*A2* … An)=p (A1)*p(A2/A1) *…*p(An/A1 *A2* … An-1)

Для независимых событий формула вероятность суммы примет вид:

P(A1+A2+…+An)= 1 –(1-p(A1))*(1-p(A2))*… * (1-p(An))

Эта формула позволяет вычислять вероятность появления хотя бы одного из независимых событий A1,A2, …,An

Если события A1,A2, …,An – зависимые, то

P(A1+A2+…+An)= 1 –p(A1)*p(A2/A1)*… * p(An/A1*A2*… An-1) Сверху А черточка

2)Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают  .

Если событие   может произойти с вероятностью   и опыт повторяют   раз, то вероятность, что оно наступит хотя бы один раз, есть:  , где  . 

 3)Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁ , А₂ , ..., А_n , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Р (A) = 1 — q₁q₂ ... q_n.(*)

Доказательство Ч а с т н ы й   с л у ч а й: Если события А₁ , А₂ , ..., А_n имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

P (A) = l — qⁿ. (**)