Вопрос 38.

Критерий согласия Пирсона, его сущность, применение для проверки гипотезы о нормальном распределении.

Критерий согласия Пирсона – один из основных : где k – число групп, на которые разбито эмпирическое распределение, fi– наблюдаемая частота признака в i-й группе,

f`i – теоретическая частота. Для распределения составлены таблицы, где указано критическое значение критерия согласия для выбранного уровня значимости и степеней свободы df.(или ) Уровень значимости – вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза. В статистике пользуются тремя уровнями: a= 0,10, тогда Р=0,90 (в 10 случаях их 100 может быть отвергнута правильная гипотеза); a= 0,05, тогда Р=0,95; a= 0,01, тогда Р=0,99. Число степеней свободы df определяется как число групп в ряду распределения минус число связей: df = k –z. Под числом связей понимается число показателей эмпирического ряда, использованных при вычислении теоретических частот, т.е. показателей, связывающих эмпирические и теоретические частоты. Например, при выравнивании по кривой нормального распределения имеется три связи: ; ; . Поэтому при выравнивании по кривой нормального распределения число степеней свободы определяется как df = k –3. Для оценки существенности расчетное значение сравнивается с табличным . При полном совпадении теоретического и эмпирического распределений , в противном случае >0. Если > , то при заданном уровне значимости и числе степеней свободы гипотезу о несущественности (случайности) расхождений отклоняем. В случае, если , заключаем, что эмпирический ряд хорошо согласуется с гипотезой о предполагаемом распределении и с вероятностью Р=(1-a) можно утверждать, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами случайно. Критерий согласия Пирсона используется, если объем совокупности достаточно велик , при этом частота каждой группы должна быть не менее 5

Вопрос 39.

Критерий согласия Пирсона, его сущность, применение для проверки гипотезы распределения Пуассона.

При объеме выборки   для проверки гипотезы о законе распределения используют критерий c² (критерий Пирсона, критерий согласия). Он применяется для группированных данных (как при построении гистограммы), когда в каждом интервале находится не менее 5 измерений (иначе интервал называется малонаселенным). Если число измерений в интервале оказывается меньше 5, тогда он объединяется с соседним.

Современный взгляд на этот вопрос заключается в следующем: не должно быть «пустых» интервалов [8].

Если рассматривать частоту i-го интервала как случайную величину, то   – число появлений «успеха» в   независимых испытаниях, где под «успехом» понимается попадание случайной величины   в  -й интервал. Таким образом, вероятность «успеха» равна  , а случайная величина   имеет биномиальное распределение с параметрами   и  . В частности,  . Рассмотрим статистику c² – функцию от случайных величин  , определяемую формулой

,

где   – число данных в i-м интервале ( ),   – теоретическая вероятность попадания случайной величины   в i-й интервал,   – объем выборки,   – число интервалов.

Можно показать, что, если закон распределения генеральной совокупности   подобран правильно, то с ростом   случайную величину   можно считать распределенной по распределению   с числом степеней свободы  ;   – числом параметров проверяемого закона распределения, вычисленных по выборке. Следует обратить внимание на то, что число степеней свободы – это число независимых слагаемых в сумме  , т. е. общее число слагаемых минус число наложенных уравнений связи. В общем случае по выборке оценивают   параметров. Еще одно уравнение связи вполне очевидно: сумма всех вероятностей   равна 1 (если первый и последний интервалы полуоткрытые) или некоторому числу, меньшему 1 (но известному). В случае нормального распределения  , так как по выборке оцениваются два параметра распределения – математическое ожидание и дисперсия. В случае распределения Пуассона  , так как математическое ожидание и дисперсия его равны, по выборке определяется один параметр.

Итак, критерий согласия c² имеет вид

 

.          *                       

 

Вычисленное по формуле (*) значение  сравнивается с табличным при выбранном одностороннем уровне значимости  . Если  , то гипотеза о виде распределения не отвергается, в противном случае она отвергается, и строится новая гипотеза – предполагается другой закон.

Статистика c² лишь приближенно имеет распределение   (при справедливой нулевой гипотезе), причем для этого необходим не только большой объем выборки  , но и достаточно большое число интервалов  . Строгого решения вопроса о числе интервалов и необходимом объеме выборки нет. На практике критерием (*) пользуются и при довольно малых   (10–15) и   (40–50). При этом необходимо помнить, что в этом случае критерий (*) обладает повышенной вероятностью ошибки первого рода   (признать неверной проверяемую нулевую гипотезу, когда она верна). Поэтому в таких ситуациях, когда выводы о законе распределения по критериям Колмогорова и Пирсона окажутся противоречащими друг другу, предпочтение должно быть отдано критерию Колмогорова.