Вопрос 26.

Неравернство Чебышева позволяет оценить вероятность отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания М(Х):

P(|X-M(X)|<ε) >=1-(D(X)/ ε^2)

Теорема Чебышева.

Теорема: При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое полученных в опытах значений случайной величины X сходится по вероятности к ее математическому ожиданию

,

Доказательство: Применим неравенство Чебышева для случайной величины  ,

где , , .

Тогда .

При любом сколь угодно малом значении ε можно всегда подобрать n такое, чтобы сделать δ значительно меньше единицы.

Практический смысл:

1.При измерении физических величин делают несколько замеров, к которым можно применить теорему Чебышева, т.к. математическое ожидание каждого замера равно математическому ожиданию измеряемой величины. Их дисперсии также одинаковы. При усреднении случайная ошибка измерений уменьшается. При этом остается приборная ошибка.

2. Теорема Чебышева обосновывает выборочный метод проверки. Суть этого метода заключается в том, что по сравнительно небольшой выборке судят о всей совокупности.

Правило трех сигм.

Преобразуем формулу

Введем обозначение

Тогда получим:

Если t=3, то

т. е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027=1-0,9973. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм:

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математиче­ского ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

Вопрос 27.

Суммой (разностью или произведением) случайных величин X и

y называется случайная величина, которая принимает все возможные

значения вида xi + yj (xi − yj или xi · yj ), где i = 1, 2, . . . , n, j =

1, 2, . . . , m, с вероятностями pij того, что случайная величина X примет

значение xi a Y - значение yj :

pij = P [(X = xi ), (Y = yj )].

Если случайные величины X и Y независимы, т.е. независимы любые

события X = xi , Y = yj , то по теореме умножения вероятностей для

независимых событий

pij = P [(X = xi )] · P [(Y = yj )] = pi pj .

Математическое ожидание суммы случайных величин 

Докажем, что для любых двух случайных величин  и 

,                          (10.2.3)

т. е. математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Это свойство известно под названием теоремы сложения математических ожиданий.

Доказательство.

а) Пусть  - система прерывных случайных величин. Применим к сумме случайных величин общую формулу (10.1.6) для математического ожидания функции двух аргументов:

.

Ho  представляет собой не что иное, как полную вероятность того, что величина  примет значение :

;

следовательно,

.

Аналогично докажем, что

,

и теорема доказана.

Диспepсия суммы случайных величин 

Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный корреляционный момент:

.                 (10.2.7)

Доказательство. Обозначим

.                             (10.2.8)

По теореме сложения математических ожиданий

.                       (10.2.9)

Перейдем от случайных величин  к соответствующим центрированным величинам . Вычитая почленно из равенства (10.2.8) равенство (10.2.9), имеем:

.

По определению дисперсии

,

что и требовалось доказать.

Формула (10.2.7) для дисперсии суммы может быть обобщена на любое число слагаемых:

,            (10.2.10)

где  - корреляционный момент величин ,  знак  под суммой обозначает, что суммирование распространяется на все возможные попарные сочетания случайных величин .

Доказательство аналогично предыдущему и вытекает из формулы для квадрата многочлена.

Формула (10.2.10) может быть записана еще в другом виде:

,                                 (10.2.11)

где двойная сумма распространяется на все элементы корреляционной матрицы системы величин , содержащей как корреляционные моменты, так и дисперсии.

Если все случайные величины , входящие в систему, некоррелированы (т. е.  при ), формула (10.2.10) принимает вид:

,                                 (10.2.12)

т. е. дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых.

Это положение известно под названием теоремы сложения дисперсий.

Математическое ожидание произведения случайных величин

 Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

.                        (10.2.17)

Доказательство. Будем исходить из определения корреляционного момента:

,

где

; .

Преобразуем это выражение, пользуясь свойствами математического ожидания:

,

что, очевидно, равносильно формуле (10.2.17).

Если случайные величины  некоррелированны , то формула (10.2.17) принимает вид:

,                                  (10.2.18)

т. е. математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Это положение известно под названием теоремы умножения математических ожиданий.

Формула (10.2.17) представляет собой не что иное, как выражение второго смешанного центрального момента системы через второй смешанный начальный момент и математические ожидания:

.                              (10.2.19)

Это выражение часто применяется на практике при вычислении корреляционного момента аналогично тому, как для одной случайной величины дисперсия часто вычисляется через второй начальный момент и математическое ожидание.

Теорема умножения математических ожиданий обобщается и на произвольное число сомножителей, только в этом случае для ее применения недостаточно того, чтобы величины были некоррелированны, а требуется, чтобы обращались в нуль и некоторые высшие смешанные моменты, число которых зависит от числа членов в произведении. Эти условия заведомо выполнены при независимости случайных величин, входящих в произведение. В этом случае

,                   (10.2.20)

т. е. математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Это положение легко доказывается методом полной индукции

Дисперсия произведения независимых случайных величин

 

Докажем, что для независимых величин 

.              (10.2.21)

Доказательство. Обозначим . По определению дисперсии

.

Так как величины  независимы,  и

.

При независимых  величины  тоже независимы; следовательно,

,  

и

.                 (10.2.22)

Но  есть не что иное, как второй начальный момент величины , и, следовательно, выражается через дисперсию:

;

аналогично

.

Подставляя эти выражения в формулу (10.2.22) и приводя подобные члены, приходим к формуле (10.2.21).

В случае, когда перемножаются центрированные случайные величины (величины с математическими ожиданиями, равными нулю), формула (10.2.21) принимает вид:

,                        (10.2.23)

т. е. дисперсия произведения независимых центрированных случайных величин равна произведению их дисперсий.