Вопрос 23.

Говорят, что случайная величина X имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром λ > 0, если она непрерывна, принимает только положительные значения, и имеет плотность распределения f(x) = λe^-λx при 0 < x < ∞.

Непрерывная случайная величина Х имеет Показательный (экспоненциальный) акон распределения с параметром λ, если ее плотность вероятности имеет вид

плотность распределения:

Математическое ожидание ,

Дисперсия

Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону

(Дополнительно: Время Т безотказной работы компьютерной системы есть случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром λ, физический смысл которого – среднее число отказов в единицу времени, не считая простоев системы для ремонта.)

Функция надежности.

Статистическая функция надежности строится непосредственно по тем же данным, что статистическая функция времени безотказной работы. Она характеризует вероятность того, что введенный в действие элемент или система проработает данный промежуток времени без отказа. 

Основные показатели надежности систем. показатели надежности: вероятность безотказной работы P(t), плотность вероятности отказов (частота отказов) f(t), интенсивность отказов λ(t), среднее время безотказной работы (средняя наработка на отказ) T0. Вероятность безотказной работы P(t) есть вероятность того, что время работы системы до отказа окажется больше заданного времени t. , где Т – случайное время работы системы до отказа; – интегральная функция распределения случайной величины Т (T < t). Иногда пользуются понятием вероятности отказов Q(t): . Если P(t) – надежность системы, то Q(t) – ненадежность системы. Плотность вероятности, или частота отказов, является дифференциальной функцией распределения. Интенсивность отказа λ(t) – это отношение плотности вероятности к вероятности безотказной работы: , откуда если λ = const,

Длительность безотказной работы F (t ) = 1 − e^ (−λt)

Функция надежности (вероятность безотказной работы за время t) R(t ) = e^ (−λt)

λ — интенсивность отказов

Функцией надежности R (t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t: 

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого

определяет вероятность отказ а элемента за время длительностью t.  λ—интенсивность отказов (сред­нее число отказов в единицу времени).

Пример:

Пример 3. Среднее время безотказной работы некоторого устройства, имеющего показательный закон надежности, равно 50 часам. Определить вероятность того, что устройство безотказно проработает 100 часов.

Решение. Пусть Т – время безотказной работы устройства. Так как среднее значение этого времени TСр=50 часам, то функция надежности R(T) для рассматриваемого устройства имеет, согласно (4.27), вид:

 (T – В часах, T≥0)

Тогда, согласно (4.22), получаем искомую вероятность: