Вопрос 1.

Случайные события. Пространство элементарных исходов. Виды событий

( достоверные, невозможные, совместные, несовместные, зависимые, независимые, совпадающие, противоположные, образующие полную группу) и их теоретико-вероятностный и теоретико-множественный смысл. Привести примеры.

Случайным событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате испытания.

Пространство элементарных событий — множество всех взаимно или попарно исключающих друг друга исходов случайного эксперимента, которые вместе образуют полную группу событий. P(A)= n/m.

Вероятность события А обозначается Р(А). Событие W, которое обязательно произойдет в результате опыта, называется достоверным: Р(W) = 1. Событие Æ, которое никогда не может произойти в результате опыта, называется невозможным: Р(Æ) = 0.

События А и В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно при одном и том же испытании. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В). В противном случае события называют совместными: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В). Если события А и В несовместные, то Р(АВ)=0.

Если вероятность появления события В изменяется в зависимости от того, произошло или нет событие А, то такие события называются зависимыми. Вероятность события В при условии, что событие А уже произошло, обозначается  . Вероятность произведения зависимых событий определяется формулой  .

Несколько событий называют независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, появилось или нет другое событие. Р(А*В)= Р(А)*Р(А)

Р(А1*А2*….*Аn)= 1- Р(А'1*A'2*…A’n)

Событие А' называется противоположным А, и заключается в том, что событие А не произошло.

События А1, А2, … Аn образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и их сумма есть достоверное событие.

Вопрос 2.

Классическое и статистическое определения вероятности. Вычисление вероятности по статистическому и классическому определениям. Основные свойства вероятностей.

классическое определение вероятности - вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Вероятность события А определяется формулой:

.

Классическое определение вероятности срабатывает только тогда, когда чисто исходов конечно, они равновозможны, несовместны и образуют полную группу событий.

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m=n, следовательно, P(A)=m/n=n/n=1

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

В этом случае m=0, следовательно, P(A)=m/n=0/n=0

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Свойство 4. Для противоположных событий А и   имеет место равенство  .

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу практически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота А определяется формулой:

 (2)

где m-число появлений события, n-общее число испытаний.

Сопоставляя определение вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту - после опыта.

Пример 2. Из 80 случайно выбранных сотрудников 3 человека имеют серьезные нарушения сердечной деятельности. Относительная частота появления людей с больным сердцем