Л инейные однородные системы дифференциальных уравнений.

 – это числа,  и   – это неизвестные функции,  и   – первые производные неизвестных функций   и   

1)Берем второе уравнение системы и выражаем из него x. 2)Дифференцируем по t обе части уравнения. 3)Подставим получившиеся x и x’в первое уравнение системы. 4)Произведём упрощения – мы получили однородное уравнение второго порядка с постоянными коэфф. 5)Составим и решим характеристическое уравнение – получим y. 6)Берём полученный y и дифференцируем по t – находим x. 7)Записываем систему из полученных x и y – общее решение. 8)Находим частное решение.

Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений.

Функции   могут быть константами (причем, по крайне мере одна из них не равна нулю), экспонентами, синусами, косинусами и т.д. 1 )Из первого уравнения выражаем y. 2)Дифференцируем по t обе части – получаем y’. 3)Подставляем y и y’ во второе уравнение системы. 4)Производим упрощения - получено неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэфф. 5)Составим характеристическое уравнение - найдём общее решение соответствующего однородного уравнения. 6)Находим частное решение неоднородного уравнения: находим первую и вторую производную какого-либо решения. 7)Подставим   в левую часть неоднородного уравнения – найдём - в результате мы нашли x=X+ . 8)Найдём производную x’ – подставим x’и x в (1). 9)Составляем систему из y и x – общее решение.

Метод характеристического уравнения (метод Эйлера).

1) Смотрим на систему уравнений и составляем определитель второго порядка из коэффициентов k,m,l,n. 2) Составим характеристическое уравнение, для этого из каждого числа, которое располагается на главной диагонали, вычитаем некоторый параметр  . 3) Раскрываем определитель и находим корни квадратного уравнения. 4) Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, то общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид: Коэффициенты в показателях экспонент  нам уже известны, осталось найти коэффициенты  . 5)Подставим первый полученный корень в характеристическое уравнение. 6) Из чисел  определителя составим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными типа: 7) Из обоих уравнений следует одно и то же равенство: 8) Теперь нужно подобрать наименьшее значение  , такое, чтобы значение   было целым. 9)Аналогично рассматриваем второй корень. 10) Подставляем найденные коэффициенты в (4) – общее решение.

Метод вариации произвольных постоянных для линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Вспоминаем, что линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: Пример 4

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

Решение: В правой части данного уравнения находится дробь, поэтому сразу можно сказать, что метод подбора частного решения не прокатывает. Используем метод вариации произвольных постоянных.

Ничто не предвещает грозы, начало решения совершенно обычное:

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:  – получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение: 

Обратите внимание на запись общего решения   – если есть скобки, то их раскрываем.

Теперь проделываем практически тот же трюк, что и для уравнения первого порядка: варьируем константы  , заменяя их неизвестными функциями  . То есть,общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

, где   – пока ещё неизвестные функции.

Далее необходимо решить систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Похоже на свалку бытовых отходов, но сейчас всё рассортируем.

В качестве неизвестных выступают производные функций  . Наша цель – найти производные  , причем найденные производные должны удовлетворять и первому и второму уравнению системы.

Откуда берутся «игреки»? Их приносит аист. Смотрим на полученное ранее общее решение   и записываем:

, 

Найдем производные:

С левыми частями разобрались. Что справа?

 – это правая часть исходного уравнения, в данном случае: 

Коэффициент   – это коэффициент при второй производной:

На практике почти всегда  , и наш пример не исключение.

Всё прояснилось, теперь можно составить систему:

Систему обычно решают по формулам Крамера, используя стандартный алгоритм. Единственное отличие состоит в том, что вместо чисел у нас функции.

Найдем главный определитель системы:

Итак:  , значит, система имеет единственное решение.

Едем дальше:

Находим производную:

Но это еще не всё, пока мы нашли только производную.  Сама функция   восстанавливается интегрированием: Здесь добавляем «нормальную» константу 

Разбираемся со второй функцией:

Здесь добавляем «нормальную» константу 

На заключительном этапе решения вспоминаем, в каком виде мы искали общее решение неоднородного уравнения? В таком:

Нужные функции только что найдены!

Осталось выполнить подстановку и записать ответ:

Ответ: общее решение:  .