Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Докажем, что уравнение  является уравнением в полных дифференциалах. Уравнение в полных дифференциалах имеет вид  . Вспоминаем характерное и очень удобное равенство смешанных производных второго порядка:  , вот его и надо проверить. . Если дана частная производная, то нужная нам функция F восстанавливается с помощью обратного действия – частного интегрирования. Когда мы берём интеграл по «икс», то переменная «игрек» считается константой. К полученному интегралу прибавляется    – некоторая, пока ещё неизвестная функция. Берем недоделанный результат F и дифференцируем его по «игрек». Функцию   мы пока не знаем, но производная-то по «игрек» у неё существует, поэтому запись   – совершенно законна. Приравниваем и сокращаем всё, что можно сократить. Находим функцию  , для этого необходимо взять интеграл. Подставим найденную функцию  в недоделанный результат.

Дифференциальные уравнения второго порядка и высших порядков. Линейные ду второго порядка с постоянными коэффициентами.

Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид: , где   и   – константы.  могут отсутствовать в уравнении, важно, чтобы был .

Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение: . Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня  ,  , то общее решение однородного уравнения выглядит так:  . В случае если один из корней равен нулю, решение упрощается; Например,  , тогда общее решение:  . Если характеристическое уравнение имеет два кратных (совпавших) действительных корня  , то общее решение однородного уравнения принимает вид:  .

Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.

1) Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения . 2) а) Необходимо найти какое-либо частное решение   неоднородного уравнения. б) Найдём первую и вторую производную  и   , и подставим их в левую часть неоднородного уравнения. в) После максимальных упрощений ставим знак равенства и приписываем нашу правую часть f(x). г) Необходимо приравнять коэффициенты при соответствующих степенях (x) и составить систему. д) Подставляем найденные значения   в наш исходный подбор частного решения. 3) На третьем этапе надо составить общее решение    неоднородного уравнения: .

Метод вариации произвольных постоянных. Для линейного неоднородного уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами.

Метод вариации произвольных постоянных применяется для решения неоднородных дифференциальных уравнений. . На первом этапе необходимо решить вспомогательное уравнение:  . Перед нами уравнение с разделяющимися переменными. Находим общее решение вспомогательного уравнения. На втором шаге заменим константу   некоторой пока ещё неизвестной функцией  , которая зависит от «икс». Отсюда и название метода – варьируем константу  .  нам предстоит сейчас найти. В исходном неоднородном уравнении проведём замену константы на u. Найдём производную y’. Подставим y и y’ в изменённое исходное уравнение. Два слагаемых в левой части сокращаются. В результате замены получено уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем. К найденной функции   приплюсовываем «нормальную» константу  . На заключительном этапе вспоминаем про нашу замену.