20. См. Конспект

21. См. Конспект

22. См. КР

23. Определение определенного интеграла. Основные свойства.

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Определение

Пусть   определена на  . Разобьём  на части с несколькими произвольными точками  . Тогда говорят, что произведено разбиение   отрезка   Далее выберем произвольную точку  ,  ,

Определённым интегралом от функции   на отрезке  называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю  , если он существует независимо от разбиения   и выбора точек  , то есть

Если существует указанный предел, то функция   называется интегрируемой на   по Риману.

2)Определение(более легкое для запоминания):

Приращение F(b)-F(a)любой из первообразных F(x)+с называется определенным интегралом.

Обозначения

•  — нижний предел.

•  — верхний предел.

•  — подынтегральная функция.

•  — длина частичного отрезка.

•  — интегральная сумма от функции   на   соответствующей разбиению  .

•  — максимальная длина част. отрезка.

Свойства

Если функция   интегрируема по Риману на  , то она ограничена на нем.

Геометрический смысл

Определённый интеграл   численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми   и   и графиком функции  .

24. Теорема об интеграле с переменным верхним пределом.

Рассмотрим функцию y = f(x), интегрируемую на отрезке [а, b]. Если х на промежутке [a, b], то функция f(x) интегрируема также на любом отрезке [а, х]. Предположим, что х меняется на отрезке [а, b], тогда на этом отрезке определена функция

(Переменную интегрирования обозначили буквой t, переменный верхний предел - буквой х).

Теорема 1. Если функция у = f(x) интегрируема на отрезке [а, b], то функция Ф(х) непрерывна на этом отрезке.

Теорема 2. Если подынтегральная функция непрерывна, то производная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела. т.е.

Следствие 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то при любом х

Следствие 2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции.

Другими словами, для любой непрерывной функции существует первообразная.

Эти функции не являются элементарными; первообразные указанных подынтегральных функций не выражаются через элементарные функции.

Все приведенные функции хорошо изучены, для них составлены таблицы значений, эти функции находят широкое применение.

Связь между определенными и неопределенными интегралами выражает следующая теорема Ньютона - Лейбница, называемая основной теоремой интегрального исчисления.

Теорема 3. Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной для верхнего и нижнего предела интегрирования:

где F'(x)=f{x).

Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница; ее можно переписать в виде

левая часть второй формулы читается так: «двойная подстановка от а до b для функции F(x).

Замечание. Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования используется при определении многих функций. К таким функциям относятся, например:

Интегральный синус

Интегральный косинус

Интегральный логарифм

Интегральная показательная функция

Интеграл вероятностей