Интегрирование тригонометрических функций.
На данном уроке мы рассмотрим интегралы от тригонометрических функций, то есть начинкой интегралов у нас будут синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы в различных комбинациях. Все примеры будут разобраны подробно, доступно и понятно даже для чайника.
Для успешного изучения интегралов от тригонометрических функций Вы должны хорошо ориентироваться в простейших интегралах, а также владеть некоторыми приемами интегрирования. Ознакомиться с этими материалами можно на лекциях Неопределенный интеграл. Примеры решений и Метод замены переменной в неопределенном интеграле. А сейчас нам потребуются: Таблица интегралов, Таблица производных и Справочник тригонометрических формул. Все методические пособия можно найти на страницеМатематические формулы и таблицы. Рекомендую всё распечатать. Особо заостряю внимание на тригонометрических формулах, они должны быть перед глазами – без этого эффективность работы заметно снизится.
Но
сначала о том, каких интегралов в данной
статье нет.
Здесь не найдется интегралов вида 
,
–
косинус, синус, умноженный на какой-нибудь
многочлен (реже что-нибудь с тангенсом
или котангенсом). Такие интегралы
интегрируются по частям, и для изучения
метода посетите урок Интегрирование
по частям. Примеры решений.Также
здесь не найдется интегралов с
«арками» – арктангенсом, арксинусом и
др., они тоже чаще всего интегрируются
по частям.
При нахождении интегралов от тригонометрических функций используется ряд методов:
Использование тригонометрических формул
Понижение степени подынтегральной функции (частный случай п.1)
Метод замены переменной
Универсальная тригонометрическая подстановка (частный случай п.3)
В рамках урока я постараюсь подробно разобрать все перечисленные методы и привести примеры решения типовых интегралов. Следует отметить, что данное разделение по параграфам весьма условно, поскольку очень часто вышеперечисленные правила используются одновременно.
Использование тригонометрических формул
Пример 1
Найти
неопределенный интеграл.
Сначала
полное решение, потом комментарии.
Используем
формулу:
(1)
Мы видим, что в подынтегральном выражении
находится произведение двух функций.
К сожалению, в интегральном исчислении
нет удобной формулы для интегрирования
произведения: 
,
поэтому приходится прибегать к различным
ухищрениям. В данном случае мы прерываем
решение значком
и
поясняем, что используется тригонометрическая
формула. Данная формула превращает
произведение в сумму.
(2) Используем свойства линейности неопределенного интеграла – интеграл от суммы равен сумме интегралов; константу можно (и нужно) вынести за знак интеграла.
! Справка: При работе с тригонометрическими функциями следует помнить, что:
Косинус
– это четная функция, то есть 
,
минус исчезает без всяких последствий.
В рассматриваемом примере: 
Синус
– функция нечетная: 
–
здесь минус, наоборот – не пропадает,
а выносится.
(3)
Под интегралами у нас сложные функции
(косинусы не просто от
,
а от сложного аргумента). Это простейшие
из сложных функций, интегралы от них
удобнее найти методом подведения под
знак дифференциала. Более подробно с
данным приёмом можно ознакомиться на
уроке Метод
замены переменной в неопределенном
интеграле.
(4)
Используем табличную формулу 
,
единственное отличие, вместо «икса» у
нас сложное выражение.
Готово.
Пример 2
Найти
неопределенный интеграл.
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока.
Пример 3
Найти
неопределенный интеграл.
Классика жанра для тех, кто тонет на зачёте. Как Вы, наверное, заметили, в таблице интегралов нет интеграла от тангенса и котангенса, но, тем не менее, такие интегралы найти можно.
(1)
Используем тригонометрическую формулу 
(2) Подводим функцию под знак дифференциала.
(3) Используем табличный интеграл .
Пример 4
Найти
неопределенный интеграл.
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока.
Пример 5
Найти
неопределенный интеграл.
Степени у нас будут потихоньку повышаться =). Сначала решение:
(1)
Используем формулу 
(2)
Используем основное тригонометрическое
тождество 
,
из которого следует, что 
.
(3) Почленно делим числитель на знаменатель.
(4) Используем свойство линейности неопределенного интеграла.
(5) Интегрируем с помощью таблицы.
Пример 6
Найти
неопределенный интеграл.
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока.
Также существуют интегралы от тангенсов и котангенсов, которые находятся в более высоких степенях. Интеграл от тангенса в кубе рассмотрен на уроке Как вычислить площадь плоской фигуры? Интегралы от тангенса (котангенса) в четвертой и пятой степенях можно раздобыть на странице Сложные интегралы.