Вопросы для самопроверки
Дайте определение рационального числа. Приведите примеры рациональных чисел.
Что является представителем рационального числа?
Что вы можете сказать о несократимом представителе рационального числа?
Докажите теорему о том, что любое положительное рациональное число имеет несократимого представителя.
2.2. Отношения на множестве
2.2.1. Отношение равенства
Определение 13. Два положительных рациональных числа равны тогда и только тогда, когда их представители равносильны (или в силу рефлексивности отношения равносильности дробей, равны).
Теорема об эквивалентности отношения равносильности дробей приводит к доказательству эквивалентности отношения равенства рациональных чисел.
Теорема 8. Отношение равенства на множестве положительных рациональных чисел является отношением эквивалентности.
Доказательство. Рефлексивность отношения равенства на множестве положительных рациональных чисел очевидна.
Докажем
симметричность отношения равенства на
множестве положительных рациональных
чисел, то есть что
Выберем представителей положительных
рациональных чисел
Пусть
По
условию, имеем,
Докажем
транзитивность отношения равенства на
множестве положительных рациональных
чисел, то есть что
По
условию, имеем
следовательно, их представители
равносильны.
Пусть
тогда
Рефлексивность, симметричность и транзитивность отношения «равно» на доказана. Таким образом, отношение равенства на множестве положительных рациональных чисел является отношением эквивалентности. Теорема доказана.
2.2.2. Отношение «меньше»
Определение
14 Число
а,
представленное дробью
,
меньше числа
,
представленного дробью
,
тогда и только тогда, когда
то есть
Пример.
Докажем, что а,
представителем которого является
,
меньше числа
представителем которого является
.
По
определению «меньше» на множестве
,
имеем, так как
.
Теорема
9. Отношение
«меньше» на множестве
от выбора представителей чисел, для
которых рассматривается данное отношение,
не зависит.
Доказательство.
Пусть
пусть число а,
представленное дробями
и
,
меньше числа
,
представленного дробями
и
,
то есть
Следовательно,
Умножим
обе части на
,
имеем:
Теорема доказана.
Теорема
10. Из двух
чисел, представленных дробями с
одинаковыми знаменателями
и
,
меньшим является то число, у представителя
которого числитель меньше.
Доказательство.
По определению
.
Теорема
11. Из двух
чисел, представленных дробями с
одинаковыми числителями
и
,
меньшим является то число, у представителя
которого знаменатель больше.
Доказательство.
По определению
Теорема
12. У любых
двух положительных рациональных чисел
и
имеются
представители с одинаковыми знаменателями.
Доказательство.
Пусть
Если
то теорема доказана.
Рассмотрим
случай, когда
.
Докажем, что существуют другие дроби,
являющиеся соответственно представителями
чисел
и
,
и имеющие одинаковые знаменатели.
Рассмотрим
дроби
и
Докажем, что
По основному свойству дроби (теорема 3), имеем:
Таким образом, найдены дроби, являющиеся представителями и , и имеющие одинаковые знаменатели. Теорема доказана.
Теорема 13. У любых двух положительных рациональных чисел и имеются представители с одинаковыми числителями.
Доказательство.
Выберем представителей положительных
рациональных чисел
Пусть
Если
то теорема доказана. Рассмотрим случай,
когда
Докажем, что существуют другие дроби,
являющиеся соответственно представителями
чисел
и
,
и имеющие одинаковые числители.
Рассмотрим
дроби
и
Докажем, что
Действительно, по основному свойству дроби, имеем
− имеют
одинаковые числители. Теорема доказана.