Глава 2. Множество положительных рациональных чисел

2.1. Понятие положительного рационального числа

Первые теоретические обоснования теории рациональных чисел изложены в «Началах» Евклида (Х кн.). Понятие «рациональный» использовал уже Платон в диалоге «Государство», рассуждая о соизмеримости длины диагонали квадрата и его стороны.

Выше доказано, что отношение равносильности на множестве дробей обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности и является, таким образом, отношением эквивалентности.

Отношение эквивалентности на множестве дробей разбивает это множество на попарно не пересекающиеся классы равносильных дробей.

Например, классу принадлежит бесконечное множество дробей

Заметим, что дроби одного класса выражают одну и ту же количественную меру; длину одного и того же отрезка: одну и ту же часть круга; одну и ту же часть объема и т.п.

Определение 12. Положительным рациональным числом называют смежный класс по эквивалентности равносильных дробей; каждая дробь, принадлежащая этому классу, называется представителем положительного рационального числа.

Таким образом, множество дробей вида есть положительное рациональное число. Дроби − представители этого положительного рационального числа.

Положительное рациональное число может быть представлено любой из эквивалентных дробей данного класса. Так как любой представитель однозначно определяет свой класс, то любая дробь класса вполне определяет положительное рациональное число Скобки в дальнейшем будем опускать. Рациональные числа обозначают обычно буквами латинского алфавита; множество положительных рациональных чисел буквой

Положительное рациональное число называют нулем и обозначают символом 0. Положительное рациональное число называют единицей и обозначают символом 1.

Положительное рациональное число является целым числом. Или любое целое число есть рациональное число

Таким образом

Рассмотрим классы равносильных дробей , в каждом из них есть несократимый представитель положительного рационального числа.

Несократимую дробь называют простейшей или стандартной формой положительного рационального числа.

Теорема 7. Всякое положительное рациональное число имеет, и притом, единственного несократимого представителя.

Доказательство проведем в два этапа. Существование. Существует хотя бы одна дробь представляющая положительное рациональное число Пусть данная дробь сократима, следовательно, Если , то теорема доказана.

Пусть тогда где и взаимно простые числа. Так как то

Таким образом, является представителем числа а и − несократимая дробь. Следовательно, существует несократимый представитель числа а

Единственность докажем методом «от противного». Выше найден несократимый представитель положительного рационального числа а − дробь Предположим, что дробь также является несократимым представителем положительного рационального числа а и Тогда ~

Так как следовательно,

Числа и − взаимно простые, следовательно, Число так как иначе дроби и совпали бы.

Итак,

Таким образом, дробь − сократима, что противоречит условию. Полученное противоречие и доказывает утверждение.