1.5. Приведение дробей к общему знаменателю
Определение 10. Приведением дробей к общему знаменателю называют замену дробей равносильными дробями, имеющими одинаковые знаменатели.
Теорема 5. Любые две дроби можно привести к общему знаменателю.
Доказательство.
Пусть
и
− произвольные дроби.
Умножим
числитель и знаменатель первой дроби
на
,
а второй на
имеем дроби с одинаковыми знаменателями:
В силу транзитивности отношения
равносильности дробей, имеем:
Теорема доказана.
В
силу коммутативности умножения на
множестве натуральных чисел:
По теореме
3, имеем
Отметим,
что общим знаменателем двух дробей
и
является общее кратное чисел
и
а наименьшим общим знаменателем
Алгоритм приведения дробей к общему знаменателю:
− найти НОК знаменателей дробей;
− найти дополнительные множители, разделив НОК на любой знаменатель;
− умножить числитель и знаменатель любой дроби на соответствующий дополнительный множитель.
Пример.
Привести
дроби
и
к наименьшему общему знаменателю.
Решение.
НОК(24;36)=72;
72:24=3, 72:36=2;
Определение 11. Смешанной дробью называют число, имеющее целую и дробную части.
Пример.
.
Теорема
6. Любая
дробь
единственным образом представима в
виде
,
где
− правильная несократимая дробь, то
есть
Доказательство.
Существование. Разделим
с остатком на
,
имеем
Тогда
Пусть
тогда
где
Сокращая дробь
на
,
получим
что и дает требуемое представление.
Единственность.
Докажем
методом «от противного». Пусть
При
этом
Тогда,
Так
как
,
то
В
силу единственности деления с остатком
можем записать равенства:
и
или
и
Так
как
и
то
и
.
Деление возможно, только при условии
Отсюда имеем
Итак, установлено, что
и
Таким образом единственность доказана.
Теорема доказана.
1.6. Действия с дробями
Сумма, разность, частное и произведение двух дробей вычисляются по правилам:
Вопросы для самопроверки
Обоснуйте необходимость расширения множества
Дайте определение дроби. Приведите примеры дробей.
Сформулируйте определение равных дробей. Приведите примеры равных дробей.
Докажите теорему о том, что отношение равенства дробей является отношением эквивалентности.
Сформулируйте определение равносильных дробей.
Следует ли из равенства дробей их равносильность? Следует ли из равносильности дробей их равенство? Приведите примеры равносильных, но не равных дробей.
Докажите теорему о том, что отношение равносильности дробей является отношением эквивалентности.
Сформулируйте определение смешанной дроби.
Сформулируйте определение аликвотной дроби (доли).
Сформулируйте определение неправильной дроби. Сформулируйте определение правильной дроби. Приведите примеры.
Сформулируйте определение несократимой дроби.
Сформулируйте основное свойство дроби.
Что называют сокращением дробей?
Что называют приведением дробей к общему знаменателю.
Сформулируйте алгоритм приведения дробей к общему знаменателю.
Сформулируйте правила сравнения дробей.
Сформулируйте правила действий с дробями.