1.3. Понятие дроби

Исторически появление дробей связано с измерением величин. Задача измерения величин не всегда может быть выполнена с помощью одних только натуральных чисел. Натуральным числом можно выразить результат измерения какой-либо величины а, соизмеримой с единицей измерения е, в том случае, если единица е содержится в а целое число раз.

Пример. Пусть дан отрезок а и некоторый единичный отрезок е. Пусть требуется измерить длину отрезка а с помощью единичного отрезка е. Чтобы найти длину а необходимо узнать сколько раз единичный отрезок е уложится в данный отрезок а. В нашем случае .

Если измеряемую величину можно разделить на несколько частей равных единице измерения, то результат измерения выражается натуральным числом.

Может оказаться так, что единица измерения е не укладывается целое число раз в измеряемой величине.

Пример. Пусть, например, при измерении длины а оказалось, что длина отрезка а состоит из 5 отрезков, равных е и отрезка, который короче, чем е. То есть .

В этом случае длину а нельзя выразить натуральным числом.

Чтобы произвести измерение в этом случае, единицу измерения е делят на n равных частей, с расчетом, чтобы одна такая часть содержалась в а некоторое число раз, например m раз. Натуральное число m будем показывать, сколько раз содержится в а не сама единица измерения е, а её n-я часть, служащая общей мерой единиц а и е, и являющаяся, таким образом, новой единицей измерения. Для выражения результата измерения величины, а вводят новое число , называемое дробью.

Пример. Если разбить е на 4 равные части, каждая из которых равна , то длина . То есть длина отрезка а выражается натуральным числом 21, то есть отрезок а состоит из 21 отрезков, каждый из которых равен четвертой части отрезка е.

То есть, говоря о длине отрезка а, мы должны указать два числа 21 и 4: четвертая часть отрезка а точно 21 раз, то есть

Определение 1. Дробью называют упорядоченную пару натуральных чисел (m; n), записанных в виде Число m называют числителем дроби, n – знаменателем.

Пример. Упорядоченная пара (3;7) образует дробь .

Определение 2. Аликвотной дробью (долей) называют дробь, числитель которой равен 1, а знаменатель является натуральным числом, то есть дробь

Пример. ; .

Знаменатель любой дроби показывает, на сколько равных частей (долей) разделили элемент, а числитель, сколько таких частей (долей) взято.

Определение 3. Неправильной дробью называют дробь, числитель которой больше знаменателя, то есть дробь : ; .

Пример. ; .

Определение 4. Правильной дробью называют дробь, числитель которой меньше знаменателя, то есть дробь : ; .

Пример. ; .

Определение 5. Смешанной дробью называют число, имеющее целую и дробную части.

Пример. 2 ; 3 .

1.4. Отношение равенства дробей Определение 6. Две дроби и называют равными, если

Теорема 1. Отношение равенства на множестве дробей является эквивалентностью.

Доказательство. Чтобы доказать, что отношение равенства на множестве дробей является эквивалентностью, необходимо доказать рефлексивность, симметричность и транзитивность отношения равенства на множестве всех дробей.

Докажем, рефлексивность отношения равенства на множестве всех дробей, то есть что для выполняется (справедливо)

Действительно, следовательно,

Докажем симметричность отношения равенства на множестве всех дробей, то есть что для

Действительно, если

По определению равенства дробей имеем:

Отношение равенства симметрично, следовательно,

Докажем транзитивность отношения равенства на множестве всех дробей:

По условию следовательно, по определению равенства дробей: применяя законы логики, имеем: Отношение «равно» транзитивно, следовательно, по определению равенства дробей:

Таким образом, отношение равенства дробей рефлексивно, симметрично, транзитивно, то есть является отношением эквивалентности. Теорема доказана.

Длину отрезка а можно выразить при заданном единичном отрезке е различными дробями.

Если мы разделили единичный отрезок е на 8 равных частей, то тогда отрезок а будет состоять из 12 таких долей. Этот процесс может быть продолжен неограниченно. При таком неограниченном делении отрезка е длина отрезка а будет выражена бесконечным множеством дробей: ; ; ; ..., то есть длина отрезка а, при заданном единичном отрезке е может выражаться различными дробями.

Если длина отрезка а выражена дробью , то она может быть выражена и любой дробью вида , к .

Теорема 2. Для того чтобы дроби и выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство и .

Определение 7. Дроби, выражающие длину одного и того же отрезка при заданном единичном отрезке е, называют равносильными.

Так дроби и равносильны.

Определение 7. Две дроби и называют равносильными (или эквивалентными), если mq=np, то есть

Пример. Определите, равносильны ли дроби и ?

Решение. 3∙15=45, 45=45 3∙15=5∙9, следовательно, по определению равносильных дробей, , 5∙9=45.

Теорема 2. Отношение равносильности на множестве дробей является эквивалентностью.

Доказательство. Чтобы доказать, что отношение равносильности на множестве дробей является эквивалентностью, необходимо доказать рефлексивность, симметричность и транзитивность отношения равносильности на множестве дробей.

Докажем, рефлексивность отношения равносильности на множестве дробей, то есть .

По свойству коммутативности умножения на множестве натуральных чисел, имеем: по определению равносильности дробей:

Докажем, симметричность отношения равносильности на множестве всех дробей, то есть

По условию следовательно, по определению равносильности дробей: отношение равенства симметрично, поэтому

В силу коммутативности операции умножения: по определению равносильности дробей:

Докажем, транзитивность отношения равносильности на множестве всех дробей, то есть

По условию следовательно по определению равносильности дробей имеем:

Умножив обе части первого равенства на имеем:

Применив свойства операции умножения на множестве , имеем

Таким образом, отношение равносильности на множестве дробей является эквивалентностью. Теорема доказана.

Теорема 3. Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число, то получим дробь равносильную данной.

Дано: − дробь, Доказать:

Доказательство. Рассмотрим дроби:

Учитывая свойства операции умножения на множестве , имеем:

Умножим обе части равенства на n, имеем: по определению равносильности дробей: Теорема доказана.

Определение 8. Несократимой называют дробь, числитель и знаменатель которой одновременно делятся только на единицу.

То есть − несократима .

Определение 9. Сокращением дробей называют замену данной дроби другой равносильной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Пример. Найдите несократимую дробь равносильную данной .

Решение. Найдем 144:24=6, 120:24=5, следовательно, .

Теорема 4. Если две дроби равносильны и не равны, то, по крайней мере, одна из них сократима.

Дано: Докажем, что, по крайней мере, одна из них сократима.

Доказательство. Докажем утверждение методом «от противного».

Предположим что − несократимые дроби, и .

По определению равносильности дробей: следовательно, следовательно,

Кроме того, дробь − несократима .

Аналогично,

Кроме того, дробь − несократима

Одновременно имеем

Подставим в равенство имеем: в силу сократимости операции умножения относительно отношения «равно» имеем:

Таким образом, дроби и оказались равными. Полученное противоречие и доказывает утверждение.

Следствие 1. Если две дроби равносильны и несократимы, то они равны.

Следствие 2. Среди бесконечного множества попарно равносильных между собой дробей существует только одна несократимая дробь.