1.2. История возникновения и развития понятия «рационального числа»

Ориентация на общее развитие личности в процессе образования включает элементы истории математики. Использование историко-математического материала на занятиях содействует повышению их общей эффективности. Математика предстает перед студентами не сформировавшейся наукой, а в процессе создания, в динамике. История науки позволяет обучающимся увидеть ее движущие силы, наблюдать в действии взаимосвязь и взаимообусловленность научного познания и практической деятельности человека. «Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук», − отмечал А.Пуанкаре³.

Отметим, что знание студентом истории формирования теоретических понятий, понимание исторической обусловленности возникновения тех или иных идей на различных этапах развития математики может служить источником плодотворных методических приемов, которые сможет использовать в своей будущей практической работе учитель: краткий исторический экскурс в начале изложения темы; ознакомление с действительным ходом развития данной теории в ходе изучения темы на практических занятиях.

Появление дробных чисел связанно с процессом различных измерений: длины, массы, площади, и т.п. У всех народов особое место занимали двоичные дроби, связанные с делением пополам. В дошедших до нас древнейших вавилонских клинописях находятся сведения о применении шестидесятеричных дробей. Из древних египетских папирусов (папирус Московский и папирус Райнда) известно, что в Египте широко использовались дроби, у которых числитель равен единице. В древней Греции также использовались дроби с числителем равным 1.

Индейцы и арабы записывали дроби, располагая числитель над знаменателем, но без черты. Введенная индейцами позиционная система счисления не была распространена ими на дроби. Употребление черты для обозначения дроби встречается в работах Леонардо Пизанского (XIII в.), однако, в качестве общепринятого обозначения дроби черта стала употребляться лишь с XVI века.

Основателю астрономической обсерватории в Самарканде аль-Каши удалось открыть новую форму записи дробных чисел, значительно упрощающую все преобразования и вычисления, так называемые десятичные дроби. Свое открытие он изложил в книге «Ключ к искусству счета» в 1427 году.

Такое открытие было сделано позднее (более чем за полтораста лет) в Европе нидерландским ученным Симоном Стевиным и опубликовано в 1585 году в книге «О десятичном счете».

В начале XVII века в качестве разделительного знака в десятичных дробях стали использовать запятую или точку. Такого обозначения придерживался и Дж. Непер (1550-1617г.), который в своих работах излагал теорию десятичных дробей. Наиболее удачным знаком, предложенным астрономом Иоганном Кеплером (1571-1630г Австрия) оказалась запятая, которая ставилась между разрядом единиц и разрядом десятых долей.

В Европе долгое время были в ходу шестидесятиричные дроби, которые были окончательно вытеснены десятичными лишь в XVIII веке. В России первые систематические сведения о десятичных дробях встречаются в «Арифметике» Магницкого (1703г.). Окончательное утверждение десятичных дробей следует связать с введением десятичной системы мер и весов, которая была введена после французской буржуазной революции 1789 г. в нашей стране математическая система введена с сентября 1918 г.

Основной причиной в исторической эволюции понятия числа, приведшей к рассмотрению отрицательных чисел, явилась потребность арифметической теории и её приложении, в расширении множества натуральных чисел, чтобы наиболее простое арифметическое действие − сложение имело бы всегда выполнимое обратное действие − вычитание.

Возникновение отрицательных чисел связано с исследованием решений различных уравнений. В такой связи отрицательные числа встречаются в работах индийских математиков начала средних веков. Некоторые представления об отрицательных числах имелись и раньше, например задачах «математики в десяти книгах» (Китай II век до н.э.), в работах греческого ученого Диофанта (III века н.э.). Для нахождения решений различных уравнений и выработки единообразных методов решений необходимо было оперировать с выражениями при . Поскольку в области положительных чисел такие выражения не имели смысла, они рассматривались как числа «ложные», «фиктивные», «невозможные». Первоначально отрицательные числа использовались лишь в промежуточных вычислениях, устанавливающих зависимость между положительными числами. Проводя формальные операции с новыми числами, и распространяя на них известные свойства действий, исследователи убеждались в полезности этих чисел, использование которых приводило к точным результатам. Это естественно вызвало интерес к рассмотрению новых чисел как самостоятельных объектов, а также к нахождению их интерпретации. Индийские математики, например, интерпретировали отрицательные числа как «долг». Однако все же долгое время считалось, что отрицательные числа не соответствуют каким-либо реальным явлениям.

К XVI веку значение отрицательных чисел становиться несомненным. Общий подъем алгебры в XVI в. был вызван работами итальянских математиков по исследованию алгебраических уравнений и особенно в связи с открытием С.Ферро (ок.1465-1526гг.), Н.Тарталья (около 1500-1557 г г.), Дж.Кардано (1501–1576 гг.), Л.Феррари (1522-1565 гг.) способом решения алгебраических уравнений 3-й и 4-й степени. Итальянские математики уже в полной мере использовали в своих работах свойство действий с отрицательными числами.

Однако лишь в XIX веке в связи с исследованиями различных числовых систем, особенно после работ немецкого математика К.Гаусса (1777-1855гг.), теория отрицательных чисел получила формальное обоснование. Отрицательные числа заняли свое место с другими истолкования отрицательных чисел, дали основание рассматривать их как числа, наделенные вполне реальной сущностью.

В IV в. до н.э. греческие математики из школы Пифагора открыли несоизмеримые отрезки. (Это значит, что ни один из них не может быть составлен ни из какого целого числа равных между собой частей другого). Длины таких отрезков они не могли выразить ни целым, ни дробным числом. Одни из таких отрезков – это диагональ квадрата со сторонами, равными единицы.

В V в. до н.э. Теодор Киренский (учитель Платона) продолжая дело Гиппаса Метапонтского (открывший существование несоизмеримости), сумел доказать, что стороны квадрата, имеющих площади 3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17 кв. единиц, тоже несоизмеримы со стороной единичного квадрата, т.е. выражаясь современными терминами, иррациональны. И афинский ученый Теэтет решил более общую задачу, доказав иррациональность для любого целого N, не являющегося полным квадратом. Он также первый предпринял классификацию некоторых типов иррациональности.

Убедившись в том, что существуют бесчисленное множество отрезков и других геометрических величин, которые с помощью целых и дробных (вообще рациональных) чисел измерить нельзя, пифагорейцы не могли еще осознать необходимость расширения понятия числа. Но сделали другой вывод: надо обосновать геометрию и алгебру не с помощью учения о числах (арифметики), а с помощью самой геометрии. Так возникла и развивалась так называемая геометрическая алгебра. В трудах Аристотеля и в произведениях Платона имеется несколько замечаний, свидетельствующих, о том, что открытие несоизмеримых отрезков явилось источником большого криза в древнегреческой математике и в конечном итоге поворотным пунктом в её развитии.

Древнегреческие математики классической эпохи не пользовались другими числами, кроме целых и дробных положительных. В своих «Началах» Евклид излагает учение об иррациональностях чисто геометрически.

Однако с начала нашей эры в противовес громоздкой и ограниченной в своих возможностях геометрической алгебре в Греции и в странах Востока начинается развитие алгебры, опирающейся не на геометрию, а на арифметику, развитие вычислительных методов.

Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, развивая алгебру, тригонометрию и астрономию, не смогли обойтись без иррациональных величин, которые, однако, длительное время не признавали за числа.

Потребовалось не одна сотня лет для того, чтобы математики смогли осмыслить понятие иррационального числа и выработать способ записи такого числа и приближенного значения его в виде бесконечной десятичной дроби.

Уже в XVI в. отдельные ученные, в первую очередь итальянский математик Рафаэль Боибелли и нидерландский математик Симон Стевин, считали понятие иррационального числа равноправным с понятием рационального числа. C.Стевин писал: «Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых и глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью».

Ещё до Бомбелли и Стевина многие ученные Ближнего и Среднего Востока в своих трудах употребляли иррациональные числа как полноправные объекты алгебры. Более того, комментируя «Начала» Евклида и исследуя общую теорию отношений Евдокса, Омар Хайям уже в начале XII в. теоретически расширяет понятие числа до положительного действительного числа. в Этом же направлении много было сделано крупнейшим математиком XIII в. ат- Туси.

В XV веке аль − Каши в работе « Ключ арифметики» ввел десятичные дроби, которыми он пользовался и для повышения точности извлечения корней. Независимо от него по такому пути шел открывший в 1585 г. десятичные дроби в Европе Симон Стевин, который в своих «Приложение к алгебре» (1594) показал, что десятичные дроби можно использовать для бесконечного, близкого приближения к действительному числу.

Таким образом, уже в XVI в. зародилась идея о том, что естественным формальным аппаратом для введения и обоснования понятия иррационального числа являются десятичные дроби.

Начиная с XV и XVI в.в. по мере увеличения интереса к алгебраическим уравнениям математикам все чаще и чаще приходилось иметь дело с выражениями, полученными от исходных чисел при помощи таких операций, как извлечение корней, что очевидным образом нельзя было приписывать им рациональных значений. Хотя сколько-нибудь ясной картины того, что же представляют собой эти величины, не было, математики оперировали с ними согласно с общими привычными правилами. По существу, это уже означало, хотя отчетливо и неосознанно, введение иррациональных чисел.

Появление «Геометрии» Декарта облегчило понимание связи между измерением любых отрезков (и геометрических величин вообще) и необходимостью расширения понятия рационального числа. Дело в том, что на числовой оси иррациональные числа, как и рациональные, изображаются точками. Это геометрическое истолкование, позволило понять природу иррациональных чисел и способствовало их признанию.

Крайне плодотворное и глубоко принципиальное установление связи между числами и точками при помощи введения координатных систем (XVII в.) сделало уже необходимым рассмотрение не только отдельных иррациональных выражений (чисел), но и всей системы действительных чисел. И обоснование свойств действительных чисел и полная теория их была разработана в XIX в.

Построение соответствующей полной системы определений и рассуждений было выполнено во второй половине XIX в. немецким математиком Дедкиндом (1831-1916г. г.) в работе «Непрерывность и иррациональные числа» опубликованной в 1872 г. Она содержит всего 21 страницу, но вошла в историю математики как одно из классических произведений этой науки.

Почти в одной и тоже время некоторые математики (Мере, Кантор, Вейерштрасс) нашли другие обоснования действительных чисел. Опираясь на другие исходные понятия, каждый из них осуществил построение теории, по существу эквивалентной теории Дедекинда.

Иррациональные числа − действительные числа, не являющиеся рациональными. И понятие иррационального числа возникло при извлечении корня, при измерении длин отрезков и при изучении ряда функций. Множество J иррациональных чисел есть дополнение множества Q рациональных чисел до множества R действительных чисел. Иррациональные числа могут определяться дедекиндовым сечением или бесконечной непериодической десятичной дробью.