3.10. Приближенные вычисления

Любое число в десятичной записи имеет следующие характеристики: число знаков (число знаков в целой части и число знаков в дробной части), число значащих цифр, число верных знаков.

Числом знаков называют количество цифр как в целой, так и в дробной части числа. Так, например, числа 2391; 75,48; 0,017 содержат по 4 знака.

Значащими цифрами приближенного числа называют все его цифры, отличные от нуля, и все нули, если они содержатся между значащими цифрами или являются представителями сохраненного разряда (в конце дроби). Все остальные нули, входящие в состав приближенного числа и служащие для обозначения десятичных разрядов его, не являются значащими цифрами.

Пример. В числе 0,0020300 первые 3 нуля не являются значащими цифрами, так как они лишь определяют разряд других цифр. Остальные нули являются значащими цифрами, так как первый из них находится между значащими цифрами 2 и 3, а два остальных показывают, что результат был вычислен с точностью до

Если целое приближенное число содержит справа большое количество нулей, то бывает сложно определить, сколько значащих цифр содержит это число. Так, о приближенном числе 85200000 можно только сказать, что в нем не менее трех значащих цифр. Запись же этого числа в виде точно показывает, что в нем три значащие цифры, а в виде показывает, что в нем пять значащих цифр. Запись нулей в виде степени числа 10 удобна и для чисел, содержащих большое количество нулей слева. Так, число, 0,000003984 целесообразно записать так:

Пример. В приближенном числе 83 – две значащие цифры; 7,904 – четыре значащие цифры; – три значащие цифры; – четыре значащие цифры; – три значащие цифры.

Следует отличать «значащие цифры» и «десятичные знаки».

Верными (точными) цифрами приближенного числа называют столько его цифр, какова разность между точным и приближенным числом не превышает половины единицы разряда, выраженной n-ой значащей цифрой, считая слева направо.

Пример. Для точного числа 733,98 число 734,00 является приближенным числом с 4 верными знаками.

733,98-734,00=-0,02; где 0,005 половина последнего сохраненного разряда 733,48-733,5=

Замена точного числа приближенным вносит в вычисления погрешность. Очевидно, что она должна быть минимальной. Для её оценки вводятся понятия абсолютной и относительной погрешности приближенного числа.

Абсолютной погрешностью приближенного числа − абсолютная величина разности между точным (А) и приближенного ( ) значениями величины приближенного числа , то есть

Пример. Принято 612 человек; если точное число 612 округлить до сотен, то =600; Если абсолютная погрешность приближенного числа больше половины единицы последнего разряда этого числа, то последнюю цифру приближенного числа называют сомнительной или ненадежной.

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому числу, то есть

3.11. Округление чисел

Чтобы легче запомнить или представить себе большие числа, сравнивать их между собой, чтобы упростить вычисления с числами, имеющими большое число значащих цифр, их округляют. Например, диаметр Земли 12713,818 12700 км. Округление чисел приводит к получению их приближенных значений.

Округлением числа называют замену его приближенным числом с меньшим заданным количеством значащих цифр. При этом число выбирается так, чтобы погрешность округления была минимальной.

Правило 1. Чтобы округлить число с точностью до указанного разряда, нужно цифры, стоящие правее этого разряда, отбросить в дробной части или заменить нулями в целой части. Последняя сохраняемая цифра округляется по правилам округления.

Пример. Округлим: а) с точностью до 0,1 число 572,3482; б) число 1827,34 до сотен.

Решение. 572,3482 572,3 цифры 4,8 и 2 отбросили.

1827,34 1800 цифры 3 и 4 отбрасываем, цифры 2 и 7 заменили нулями.

Округление выполнено правильно, если при замене точного числа приближенным получаемая абсолютная погрешность меньше половины единицы последнего сохраненного разряда.

Пример. Округлим с точностью до 0,01 число =10,678.

Решение. Выполним округление следующим образом:

− приближенное значение числа с избытком;

− приближенное значение числа с недостатком.

Оценим абсолютные погрешности в обоих случаях:

=10,678-10,68=-0,002; =10,678-10,67=0,008.

Сравнивая полученные погрешности с половиной единицы последнего сохраненного разряда, то есть с числом 0,005, видим, что в первом случае округление выполнено, верно , а во втором нет

Ответ: 10,68.

Правило 2. Если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то в последнем сохраняемом разряде цифра не изменится.

Пример. Округлим 743,524 с точностью до 0,01

Решение. 743,524 743,52.

Правило 3. Если первая отбрасываемая цифра больше 5, то в последнем сохраняемом разряде цифра увеличивается на 1.

Пример. Округлим 305,27 с точность до 0,1

Решение. 305,27 305,3.

Правило 4. Если первая отбрасываемая цифра 5 и за ней есть еще цифры 0, то в последнем сохраняемом разряде цифра увеличивается на 1.

Пример. Округлим 2632,507 с точностью до 1

Решение. 2632,507 2633.

Правило 5. Правило «четной цифры». Если первая отбрасываемая цифра 5 и за ней больше никаких (исключая 0), то последнюю сохраняемую цифру оставляют без изменения, если она четная; и увеличивают на 1, если она нечетная.

Пример. Округлим 3,65 и 67,3500 с точностью до 0,1.

Решение. 3,65 3,6; 67,3500 67,4

В том случае, если после округления в последнем разряде получится нуль, его сохраняют, чтобы показать действительную точность числа.

Пример. Округлите 7,4,8995 с точностью до 0,001.

Решение. 74,8995=74,900.

Последняя сохраненная цифра 9 – нечетная, увеличиваем ее на 1.

Арифметические действия над приближенными числами выполняются так, чтобы результаты этих действий не содержали лишних сомнительных цифр.

Правило 6. Чтобы найти сумму нескольких чисел с точностью до целой или дробной единицы какого-либо разряда, если слагаемых меньше 10,надо взять любые с числом десятичных знаков на 1 более, чем у дроби приближения, сложить их, в полученной сумме отбросить последнюю цифру и увеличить на единицу предпоследнюю; полученное таким образом число есть искомая сумма с желаемой степенью точности. Если слагаемых больше10, но меньше 100, то надо взять любые из них с числом десятичных знаков на 2 больше, чем в дроби приближения, сложить их, в полученной сумме отбросить 2 последние цифры и прибавить 1 к последней удержанной; полученное число есть искомая сумма с желаемой степенью точности.

Пример. Даны числа 246,823905; 32,30567248; 41,701346234; 50,239527; 23,07452625. Найдем сумму с точностью до 0,01.

Решение. Возьмем любые из данных слагаемых с тремя десятичными знаками (на один знак больше, чем у дроби приближения). Сложим их: 246,823+32,305+41,701+50,239+23,074=394,142. отбросив от полученной суммы последнюю цифру (какова бы она ни была) и, увеличив на 1, последнюю цифру, получим число 394,15, которое представляет искомую сумму с точностью до 0,01.

Правило 7. Чтобы найти разность двух приближенных целых или дробных чисел с точностью до целой или дробной единицы данного разряда, надо в уменьшаемом и вычитаемом отбросить все цифры, стоящие справа от той, выражает единицу разряда степени точности; затем найти разность полученных чисел.