Вопросы для самопроверки

1. Что называют множеством положительных действительных чисел?

2. Сформулируйте определение положительного действительного числа.

3. Дайте определение приближенного значения числа по недостатку с точностью до .

4. Дайте определение приближенного значения числа по избытку с точностью .

5. Сформулируйте определение «меньше» для чисел

6. Укажите свойства множества .

7. Дайте определение суммы положительных действительных чисел и .

8. Что называют сложением положительных действительных чисел и ?

9. Как найти сумму положительных действительных чисел?

10. Сформулируйте определение произведения положительных действительных чисел и .

11. Что называют умножением положительных действительных чисел и ?

12. Сформулируйте правило нахождения произведения положительных действительных чисел?

13. Сформулируйте определение разности положительных действительных чисел и .

14. Что называют вычитанием положительных действительных чисел и ?

15. Докажите, что вычитание на множестве есть операция, обратная сложению.

16. Сформулируйте правило выполнения вычитания положительных действительных чисел?

17. Сформулируйте определение частного положительных действительных чисел и .

18. Что называют делением положительных действительных чисел и ?

3.6. Аксиоматическое построение множества

Чтобы не связывать понятия положительных действительных чисел с той или иной формой записи таких чисел, множество определяют с помощью системы аксиом. Одна из таких систем аксиом опирается на свойства операции сложения. В ней неопределяемыми понятиями являются единица и операция сложения.

Рассмотрим данную систему аксиом.

Аксиома 1. Множество содержит множество

Аксиома 2. В множестве определена операция сложения ставящая в соответствие любым двум числам и из число того же множества, называемое суммой и , а сами числа – слагаемыми.

Аксиома 3. Операция сложения в коммутативна и ассоциативна.

Аксиома 4.

Данная система аксиом непротиворечива и однозначно, определяет множество . С ее помощью можно доказать, что любое число из представимо в виде бесконечной десятичной дроби, определить операцию умножения в ввести в отношение порядка и т.д.

3.7. Множество

Определение 40. Число вида где называют отрицательным действительным числом. Множество всех отрицательных действительных чисел обозначают

Числа и называют противоположными, причем считают, что Число 0 не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам. Противоположные числа на числовой оси изображаются точками симметричными относительно начала координат.

Определение 41. Объединение множеств и называют множеством и обозначают символом , то есть

Упорядочить множество можно, задав на нем отношение «меньше» следующим образом:

− если то отношение понимается так, как оно задано на

− если то считают

− если и то считают, что