3.5. Арифметические операции на

Определение 34. Суммой положительных действительных чисел и называют число , которое больше или равно суммы двух любых приближенных их значений по недостатку, но меньше суммы двух любых приближенных их значений по избытку, то есть

Операция нахождения существования двух положительных действительных чисел называется сложением положительных действительных чисел.

Определение 35. Сложением положительных действительных чисел называют бинарную алгебраическую операцию, при которой образом пары положительных действительных чисел является их сумма.

Теорема 60. Для любых положительных действительных чисел и существует единственное положительное действительное число являющееся их суммой, то есть

Из неравенства (*) следует, что сумма есть число, принадлежащее отрезкам при всех

Эти отрезки являются вложенными и их длины:

Отрезки стремятся к 0 при стремящимся к бесконечности, так как так что для последовательности отрезков выполняются все условия теоремы 57, следовательно принадлежащее всем отрезкам это число и является суммой чисел и

Пример. Найдем сумму с точностью до

Решение. Возьмем десятичные приближения данных чисел с точностью до : ; ; .

С точностью до сумма равна

Определение 36. Произведением положительных действительных чисел и называют число которое больше или равно произведению двух приближенных их значений по недостатку, но меньше произведения двух приближенных их значений по избытку, то есть

Определение 37. Умножением положительных действительных чисел называют бинарную алгебраическую операцию, при которой образом пары положительных действительных чисел является их произведение.

Теорема 61. Для любых положительных действительных чисел и существует и притом единственное положительное действительное число , являющееся их произведением, то есть

Доказательство данной теоремы опустим.

Теорема 62. Для любых положительных действительных чисел справедливы следующие свойства арифметических операций:

− коммутативности:

− ассоциативности:

− дистрибутивности:

− сократимости:

− монотонности:

Поскольку операции сложения и умножения положительных действительных чисел сводятся к соответствующим операциям над положительными действительными числам, то справедливость данных свойств вытекает из справедливости их для положительных действительных чисел

Определение 38. Разностью двух положительных действительных чисел и , таких что называют положительное действительное число которое больше или равно разности приближенного значения числа взятого по недостатку, и числа взятого по избытку, но меньше разности любого приближенного значения числа взятого по избытку, и числа взятого по недостатку, то есть

Определение 37. Операцию нахождения разности положительных действительных чисел и называют вычитанием из числа числа .

Теорема 63. Для любых положительных действительных чисел и , таких что существует единственное положительное действительное число являющееся их разностью, то есть

Теорема 64. Вычитание на множестве есть операция, обратная сложению, то есть разность двух чисел есть число такое, что

Доказательство. Пусть разность чисел и согласно теореме 63 разность существует и единственна. Таким образом, необходимо показать, что по определению разности имеем:

Кроме того, очевидно, что сложим эти неравенства почленно, имеем: Знаем, что

Имеем

Тогда

Если через обозначить отрезок то последние неравенства означают, что , последовательность вложенных отрезков, длины которых стремятся к 0 следовательно по теореме существует единственное число, принадлежащее всем отрезкам этим числом будет а. Так как , то в силу единственности имеем

Пример. Найдем значение выражения с точностью до

Решение. Возьмем десятичные приближения данных чисел с точностью до ; ; .

Значение выражения с точностью до равно 2,4.

Пример. Найти значение выражения с точностью до

Решение. Возьмем десятичные приближения данных чисел с точностью до ; ; ; . Значение выражения с точностью до равно 0,3.

Определение 38. Частным от деления двух положительных действительных чисел и называют положительное действительное число которое больше либо равно частного любого приближенного значения числа взятого по избытку, но меньше частного взятого любого приближенного значения числа взятого по избытку, и числа взятого по недостатку, то есть

Определение 39. Делением положительных действительных чисел называют бинарную алгебраическую операцию, при которой образом пары положительных действительных чисел является их частное.

Теорема 65. Для любых положительных действительных чисел и существует и при том единственное положительное действительное число являющееся их частным, то есть

Доказательство данной теоремы опустим.

Теорема 66. Деление на множестве есть операция обратная умножению, то есть частное двух чисел и есть число такое что

Доказательство данной теоремы опустим.