Глава 3. Действительные числа
3.1. Бесконечные дроби
Определение 22. Бесконечной дробью называют запись числа в виде десятичной дроби, у которой ни один знак не является последним.
Пример. 0,1234567891011...
Определение 23. Периодической дробью называют бесконечную десятичную дробь, в которой, начиная с некоторого места, стоит только периодически повторяющаяся группа цифр.
Повторяющуюся группу цифр называют периодом этой дроби, число цифр в периоде называют длиной периода, группу цифр, стоящих между запятой и началом первого периода, называют предпериодом.
Пример.
63 – период, 8 − предпериод, 2 – длина периода.
Читают: «три целых, восемь десятых и 63 в периоде».
Теорема 50. Если дробь несократимая и в разложении знаменателя есть простой множитель отличный от 2 и 5, то дробь представляется бесконечной десятичной периодической дробью.
Доказательство.
Дробь
не может быть представлена конечной
десятичной дробью, так как это противоречило
бы теореме 49. А значит, процесс деления
на
будет бесконечным. Положим для
определенности, что дробь
− правильная, То есть
В противном случае этого можно добиться
после выделения целой части.
Умножим
на 10 и применим к числу 10
теорему о делении с остатком, имеем:
Очевидно,
− однозначное число. Далее умножая на
10 полученный остаток, снова выполним
деление на
:
,
,
Продолжая описанный процесс деления, получим бесконечную последовательность равенств:
Здесь все
удовлетворяют неравенствам
а все
Таким образом, можно записать:
Определение
24.
Приближенным значением числа
по недостатку с точностью до
называют число
3.2. Понятие иррационального числа
Исторически появление иррациональных чисел связано с измерением величин. С помощью положительных рациональных чисел можно лишь с заданной степенью точности выразить результат измерения той или иной величины.
Рассмотрим процесс
измерения длины отрезка. Пусть выбран
единичный отрезок
и задан некоторый отрезок а, длину
которого необходимо измерить.
Тогда либо длина
отрезка а
меньше длины е
,
либо найдется такое натуральное число
,
что
Числа
и
есть приближенные значения длины отрезка
а
при единице длины е
с недостатком и с избытком с точностью
до единицы.
,
если отрезок а
меньше е.
Если
то длина отрезка а
выражается натуральным числом.
В другом случае,
где
Но тогда найдется число
принимающее одно из значений 0, 1, ..., 9,
такое, что:
Вспомним, что
следовательно,
Вспомним
Тогда
Если 
то длина отрезка а
выражается конечной десятичной дробью
в другом случае, продолжая описанный
процесс измерения, получим числа
принимающие одно из значений
и также, что для любого
длина отрезка а
не меньше, чем
,
но меньше
.
На практике этот процесс десятичного измерения длины отрезка на каком-то этапе закончится. И, следовательно, в этом случае, результатом измерения длины отрезка будет либо натуральное число, либо конечная десятичная дробь, дающая лишь приближенное значение длины отрезка а с некоторой степенью точности.
Если представить процесс десятичного измерения длины отрезка в идеале, то возможны два исхода:
− на некотором
-ом
шаге процесс измерения закончится.
Тогда длина отрезка а
выразится конечной десятичной дробью
вида:
− описанный процесс измерения длины отрезка бесконечен, отчет о нем будет представляться бесконечной десятичной дробью
Причем эта дробь не всегда периодическая, так как длину отрезка не всегда можно выразить рациональным числом, потому что существуют отрезки «несоизмеримые» с единичным отрезком е, то есть длину которых нельзя выразить, пользуясь лишь рациональными числами.
Обнаружение факта существования несоизмеримых отрезков (то есть того, что рациональных чисел недостаточно для измерения любых отрезков), является одним из важнейших открытий математической науки. Данный факт был открыт в Древней Греции в школе Пифагора. В V веке до н.э. греки обнаружили, что некоторые отношения (например, гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника к катету) непредставимы в виде отношения целых чисел. Отношения, представимые в виде отношений целых чисел они называли соизмеримыми, а отношения, не представимые в виде отношения целых чисел – несоизмеримыми.
Чтобы доказать существование несоизмеримых отрезков, докажем сначала следующий факт.
Лемма. Если квадрат числа кратен 2, то и само число кратно 2.
Дано:
Доказать:
Доказательство.
Докажем утверждение методом «от
противного». Предположим, что
,
тогда
Следовательно,
Знаем, что
следовательно,
Полученное противоречие и доказывает
теорему.
Теорема 51.
Не существует рационального числа,
квадрат которого равен 2, то есть для
любого рационального числа а,
либо
либо
Доказательство.
Докажем утверждение методом «от
противного». Предположим, что
Согласно теории рациональных чисел
существует несократимый представитель
числа
,
то есть
− несократимая дробь и
Подставив равенство
в
,
имеем,
тогда
Итак,
и
дробь
− сократима. Полученное противоречие
и доказывает утверждение: не существует
такого рационального числа квадрат
которого равен 2. Теорема доказана.
Докажем существование несоизмеримых отрезков.
Теорема 52. Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.
Доказательство.
Докажем, что если за единицу длины взять
сторону квадрата, то длина диагонали
этого квадрата не может быть выражена
положительным рациональным числом. По
теореме Пифагора имеем:
Так как
– квадрат, то
Следовательно,
Данное равенство
показывает, что отношение
не может выражаться рациональным числом
а,
так как иначе
,
а таких рациональных чисел, согласно
теореме 51 не существует.
Пример. Докажем, что длина диагонали квадрата со стороной 1, несоизмерима с длиной его стороны.
Доказательство.
Докажем, что длина диагонали АС
не может быть выражена положительным
рациональным числом. Для доказательства
утверждения применим метод «от
противного». Предположим, что длина
диагонали квадрата может быть рациональным
числом а,
тогда
Тогда, существует
несократимый представитель положительного
рационального числа а
дробь
То есть
− несократимая дробь. С другой стороны
по теореме Пифагора имеем:
Таким образом,
Итак, 
− несократимая дробь.
Итак,
− сократима. Полученное противоречие
и доказывает теорему.
Таким образом, рациональных чисел оказывается недостаточно для полного разрешения задачи об измерении длин отрезков.
К необходимости
расширения множества
приводят не только задачи, связанные с
измерением величин. Иррациональные
числа возникают из потребностей самой
математики. Например, на
ельзя найти числовые значения выражений
,
уравнения
и
не имеют решений.
Определение 25. Иррациональным числом называют число, выражаемое бесконечной десятичной непериодической дробью.
Пример.
;
;
;
;
Множество всех
иррациональных чисел обозначают символом
.
Любой элемент
может быть записан в виде
,
где
− целая часть,
− непериодическая последовательность
десятичных знаков. Если целая часть и
среди знаков имеются отличные от нуля,
то иррациональное число называется
положительным.
Множество
положительных иррациональных чисел
обозначается символом
В противоположность множеству
которое замкнуто относительно операций
сложения, вычитания, умножения, деления
(исключая деление на 0), множество
не обладает свойством замкнутости ни
для одной из данных операций.
Пример. Покажем, что множество незамкнуто относительно операции сложения. Для этого достаточно указать лишь одну пару иррациональных чисел, сумма которых будет рациональным числом. Возьмем числа а=0,1010010001... и =0,0101101110...
Первое образовано
последовательностью единиц, разделенных
соответственно одним нулем, двумя
нулями, тремя нулями; второе –
последовательностью нулей, разделенных
соответственно одной, двумя, тремя, и
т.д. единицами. То есть
Найдем сумму данных чисел:
Таким образом,
и множество
незамкнуто относительно операции
сложения.
Замечание. Сумма, разность, произведение и частное иррационального числа а и рационального числа являются иррациональными числами.
Доказательство. Докажем, что сумма иррационального числа а и рационального числа , есть число иррациональное.
Дано:
Доказать:
Доказательство
проведем методом «от противного». Пусть
,
тогда их сумма
следовательно,
Их разность число рациональное
Данный факт противоречит условию
Данное противоречие и доказывает
утверждение.
Из данного свойства иррациональных чисел следует, что, имея, лишь одно иррациональное число, с помощью рациональных чисел можно построить бесконечно много иррациональных чисел.
Пример.
Докажите, что число
иррациональное.
Доказательство.
Докажем
методом «от
противного».
Предположим, что
‒ рациональное число, где
,
а дробь
несократима. Тогда m2=5n2,
то есть m2
делится на 5, значит, m
делится на 5. Итак, m=5k,
откуда (5k)2=5n2
или n2=5k2.
Следовательно, n2
кратно 5, значит, и n
кратно 5. Получили противоречие с
несократимостью дроби
.
Полученное противоречие и доказывает,
что число
иррациональное.
Пример.
Докажите,
что если
,
то
‒ либо натуральное число, либо
иррациональное.
Доказательство.
Пусть
,
где
,
причем m
и n
– взаимно простые. Тогда
,
то есть
.
Но m2
и n2
– взаимно
простые, поскольку числа m
и n
не имеют общих делителей и n2≠1,
значит,
не является натуральным числом. Полученное
противоречие и доказывает утверждение.
Пример.
Докажите, что
‒ иррациональное число.
Доказательство.
Пусть
,
где r
– рациональное. Тогда
где r1
– рациональное. Отсюда 15+7r2+2r
=r12,
‒ рациональное число. Но
не натуральное, а значит, иррациональное.
Полученное противоречие и доказывает
утверждение.
Пример.
Упростите выражение
Решение.
так как
2-
<0,
3-
>0,
то
=
-2+3-
=1.
Пример.
Докажите, что
Доказательство.
Так как слева
число больше 0, то можно возвести обе
части предполагаемого тождества в
квадрат, получим:
.
Упростим левую часть:
Таким
образом,
Пример.
Докажите, что значения выражений
и
представляют собой взаимно обратные
числа.
Доказательство.
Чтобы доказать, что значения выражения
являются обратными числами, надо
показать, что их произведение равно 1.
∙
=
Таким образом, значения выражений являются взаимно обратными числами.
Пример.
Докажите, что числа
и
являются противоположными.
Решение.
Числа
и
являются противоположными, так как
Пример.
Выясните, какое число больше
или
?
Решение.
Сравним
числа
и
.
Вычтем 20 из
обеих частей, имеем:
и
.
Обе части
положительны, возведем их в квадрат: 18
и 12+8
+4;
18 и 16+8
;
вычтем число 16: 2 и 8
;
2<8
.
Так как все действия обратимы, то
<
.
Пример.
Сравните
и
Решение.
<
или
<
Пример. Расположите в порядке возрастания числа
а)
,
и
б)
,
,
и 0,5.
Решение:
а)
Таким
образом,
б)
<2;
2
>
>
Таким образом, 0,5<
<
<
.
Пример.
Выполните действия:
Решение:
Пример.
Вычислите 20 % от значения выражения
Решение. 1) Найдем значение данного выражения:
Найдем
20 % от 5: 5∙0,2=1.
Пример. Упростите выражение:
а)
б)
в)
Решение:
а)
б)
в)
Пример.
Найдите значение выражения
Решение.
Пример.
Упростите выражение: а)
б)
в)
Решение.
а)
б)
в)
Пример.
Найдите значение выражения: а)
б)
Пример.
Вычислить
Решение.
