2.14. Преобразование обыкновенных дробей в десятичные

Теорема 49. Для того чтобы несократимая дробь была эквивалентна конечной десятичной дроби, необходимо и достаточно, чтобы в разложении ее знаменателя на простые множители входили лишь числа 2 и 5, то есть

Доказательство. Необходимость. Докажем утверждение методом «от противного». Пусть несократимая дробь эквивалентна дроби , то есть представима в виде конечной десятичной дроби, однако, в разложении знаменателя на простые множители входит простое число , отличное от 2 и 5. Так, что

Дробь

Числа и взаимно простые, следовательно, , но тогда по транзитивности отношения делимости

Но это невозможно, так как в разложении на простые множители числа входят лишь 2 и 5. Полученное противоречие показывает, что в разложении знаменателя дробь не может иметь простых множителей, отличных от 2 и 5.

Достаточность. Пусть и − самое большое из чисел и Тогда, умножая числитель и знаменатель дроби на произведение имеем: , тогда

Последнее равенство означает, что рассмотренная несократимая дробь может быть записана в виде конечной десятичной дроби, с десятичными знаками. Теорема доказана.

Следствие. Обратить обыкновенную дробь , где в десятичную можно двумя способами:

− путем умножения числителя и знаменателя на где

− путем деления числителя на знаменатель.

Пример. Обратим обыкновенную дробь в десятичную:

Решение. I способ.

II способ.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение десятичной дроби. Что называют целой частью десятичной дроби? Что называют десятичными знаками десятичной дроби?

2. Как производится преобразование обыкновенных дробей в десятичные дроби?

3. Что происходит если приписать к десятичной дроби любое число нулей справа?

4. Докажите теорему о существовании десятичной дроби равносильной обыкновенной.

5. Сформулируйте правило приведения десятичных дробей к общему знаменателю.

6. Сформулируйте алгоритм сравнения десятичных дробей.

7. Сформулируйте алгоритмы арифметических действий над десятичными дробями.

8. Дайте понятие бесконечной периодической десятичной дроби.

9. Сформулируйте алгоритм нахождения обыкновенной дроби, равносильной бесконечной периодической десятичной.

10. Является ли деление на множестве десятичных дробей бинарной алгебраической операцией?

11. Сформулируйте правило умножения десятичных дробей на числа вида .

12. Как разделить десятичную дробь на числа вида ?

13. Сформулируйте критерий того, чтобы несократимая дробь была эквивалентна конечной десятичной дроби.

14. Дайте определение бесконечной периодической десятичной дроби.

15. Сформулируйте алгоритмы нахождения обыкновенной дроби, равносильной бесконечной периодической десятичной.

Задания для самостоятельного решения

1. Какие доли в десятичной дроби находятся на шестом месте справа после запятой? на девятом? на двенадцатом?

2. На каком месте справа после запятой находятся сотые доли? стотысячные доли? десятимиллионные доли? стомиллиардные доли? десятитриллионные доли?

3. Какие доли единицы получатся, если сотую долю единицы разделить на 10, на 100, на 1000, на 10000 равных частей? если миллионную долю единицы разделить на 10, на 100, на 1000, на 10000, на 100000, на 1 000000 равных частей?

4. Сколько сотых долей в единице? Сколько миллионных долей в одной тысячной доле? Сколько десятимиллиардных долей в одной десятитысячной доле?

5. Во сколько раз 4 десятых больше одной тысячной? больше одной миллионной? Во сколько раз одна сотая меньше 9 десятых? одна десятитысячная доля меньше 45 сотых?

6. Расположите следующие дроби в порядке возрастания их величины

7. Укажите наибольшую и наименьшую дробь:

8. Увеличите каждую из следующих дробей в 10 раз, в 1000 раз, в 100000 раз, в 1000000 раз:

9. Уменьшите каждую из следующих дробей в 100 раз, в 10 000 раз, в 100 000000 раз:

10. Что произойдет со следующими дробями, если зачеркнуть в них запятые?

11. Как изменится десятичная дробь, если перенести запятую сначала вправо через 6 цифр, а затем влево через 2 цифры? сначала влево через 4 цифры, а затем вправо через 10 цифр?

12. Какие из дробей можно записать в виде десятичных:

13. Что больше и во сколько раз: 2,035 или 0,02035? 10,4 или 1040? 0,05072 или 50,72?

14. Что меньше и во сколько раз: 0,02 или 0,0002? 40,301 или 4,0301? 150,003 или 0,00150003?

15. Написать число, которое должно быть во столько раз больше 0,145, во сколько 31,3 больше 0,00313; во сколько 0,004 раз меньше 0,4; во сколько 0,0303 меньше 80,3.

16. Один пуд равен 16,33 кг. Сколько пудов содержит 163,8 кг! 16380 кг!

17. Одна тонна равна 61,05 пуда. Сколько тонн содержит 610,5 пуда? 61050 пудов?

18. Выразить в метрах: 204,8 дм; 15 см; 587 мм; 7 дм 14 см.

19. Выразить 80,5 ц в килограммах, в тоннах, в граммах.

20. Выразить 1800,5 кв. м в арах, гектарах, в квадратных сантиметрах.

21. Выразить 3,04 га в арах, в квадратных метрах.

22. Выразить 80 500 куб. см в кубических дециметрах, в кубических метрах.

23. Выразить 5000 кв. км в гектарах, в арах.

24. Выразить в тысячах километров длину рек: Обь (с Иртышом) 5206 км; Амур 4478 км; Лена 4599 км; Енисей 4011 км; Волга 3700 км; Урал 2327 км; Днепр 2139 км. Раздели на 10 числа 37; 795; 4; 2,3; 65,27; 0,48 и результат запиши в виде десятичной дроби. Эти же числа раздели на 100 и на 1000.

25. Умножьте на 10 числа 4,6; 6,52; 23,095; 0,01999. Эти же числа умножьте на 100 и на 1000.

26. Представьте десятичную дробь в виде обыкновенной дроби и сократи ее: а) 0,5; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; б) 0,25; 0,75; 0,05; 0,35; 0,025;

в) 0,125; 0,375; 0,625; 0,875; г) 0,44; 0,26; 0,92; 0,78; 0,666; 0,848.

27. Представьте в виде смешанной дроби:

28. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной дроби:

29. Найдите сумму десятичных дробей:

а) 7,3+12,8; б) 65,14+49,76; в) 3,762+12,85; г) 85,4+129,756; д) 1,44+2,56.

30. Представьте единицу в виде суммы двух десятичных дробей. Найдите пять способов такого представления.

31. Найдите разность десятичных дробей:

а) 13,4–8,7; б) 74,52–27,04; в) 49,736–43,45;

г) 127,24–93,883; д) 67–52,07; е) 35,24–34,9975.

32. Найдите произведение десятичных дробей:

33. Найдите частное десятичных дробей:

34. Выполните указанные действия:

а) б)

в) г)

35. Произведите указанные действия:

36. Выполните арифметические операции:

37. На основании зависимости между компонентами и результатами действий найдите неизвестное число:

38. Найдите 0,34 числа, 0,002 которого равны 2,5.

39. Известно, что 0,8 неизвестного числа составляют 0,32. Найдите 0,75 неизвестного числа.

Решите задачи.

40. Турист прошёл сначала 0,4, а затем 0,25 всего пути, после чего ему оставалось пройти 0,5 всего пути без 10,5 км. Каков был весь путь туриста в километрах?

41. Найдите длину газопровода Саратов-Москва и канала имени Москвы, если отношение этих длин равно 6,25, а газопровод длиннее канала на 672 км.

42. Студент прочитал книгу в 2 дня. В первый день он прочитал 0,25 всей книги и 0,1 остатка; во второй день он прочитал па 56 страниц больше, чем в первый день. Сколько страниц в книге?

43. Пошивочная мастерская для воспитанников ремесленного училища доставила в три приёма готовые рубашки по 35 руб. за каждую. В первый раз мастерская доставила 0,5 всего заказа, во второй раз 0,75 оставшегося заказа и в третий раз − остальные рубашки, причём за последнюю партию рубашек уплачено 210 руб. Сколько рубашек доставляла мастерская в каждой партии?

44. Сплавили два слитка серебра 800-й и 500-й пробы с некоторым ‒ количеством меди и получили сплав весом в 3 кг. Известно, что серебра 800-й пробы было взято в 1,4 раза больше, а меди в 10 раз меньше, чем серебра 500-й пробы. Какой пробы получился сплав?

45. Сплавили три слитка серебра: 600-й, 500-й и 800-й проб. Сплав получился весом в 1 кг. Серебра 500-й пробы было взято 0,8 количества серебра 600-й пробы, а серебра 800-й пробы было взято на 300 г меньше, чем серебра 500-й пробы. Какой пробы получился сплав?

46. Для школьной библиотеки куплено 72 задачника, 84 грамматики и 56 словарей на сумму 561,6 руб. За задачник платили в 1,5 раза дороже, чем за грамматику, и в 2 раза дороже, чем за словарь. Сколько стоит в отдельности задачник, грамматика и словарь?

47. В шляпной мастерской было 3 куска ленты на общую сумму в 1703,4 руб. 1 м ленты 1-го куска стоил 3,35 руб., 1 м ленты 2-го куска ‒ 4,2 руб. и 1 м ленты 3-го куска − 4,7 руб. В первом куске было на 36 м больше, чем во втором, и на 24 м меньше, чем в третьем. Сколько метров ленты было в каждом куске?

48. Фермер провёл уборку урожая пшеницы с одного участка за 3 дня. В 1-й день он убрал пшеницу с 0,3 всего участка, во 2-й день с оставшейся площади и в 3-й день − с остальной площади в 14 га. В среднем с каждого гектара собрали по 22,5 ц пшеницы. Весь урожай пшеницы был увезён с участка на грузовых машинах и подводах, причём всего было сделано 99 поездок. На каждую машину грузили по 5 т пшеницы, а на каждую подводу − по 0,5 т. Сколько поездок было сделано в отдельности на грузовых машинах и на подводах?

49. Скорость звука равна 333,3 м в секунду. Наблюдатель слышит удар грома через 5 секунд после молнии. Каково расстояние от наблюдателя до грозовой тучи, если распространение света в данном случае считать мгновенным?

50. Расстояние от города А до города В один поезд проходит за 2,5 часа, а другой − за 10 часов. Через сколько часов поезда встретятся при одновремен­ном выходе их из А в В навстречу друг другу?

51. Из А и В вышел поезд со средней скоростью 60,4 км в час. Спустя 2 часа 15 мин. из В навстречу ему вышел другой поезд со средней скоростью 50,6 км в час. Через сколько часов и на каком расстоянии от А встретятся поезда, если 0,35 расстояния от Л до В равны 222,39 км?

52. Из города А вышел пассажирский поезд в 5 час. 10 мин. и пошёл по направлению к городу В со средней скоростью 48,4 км в час. Из города С, отстоящего от города В на 32,44 км дальше, чем от Л до В, в 8 час. 4 мин. вышел курьерский поезд, который тоже пошёл по на­правлению к 5 со средней скоростью 62,8 км в час. На каком расстоянии от города А курьерский поезд догонит пассажирский и в котором часу?

53. Группа учащихся рассчитала, что если они купят билеты в кино по 2,5 руб. за билет, то у них не хватит 3,6 руб. Если же они купят билеты по 1,75 руб., то у них останется 3,9 руб. Сколько человек было в группе и какую сумму денег имела группа?

54. Велосипедист отправляется из города А в город В. Если он будет ехать со скоростью 10,5 км в час, то приедет в Б с опозданием на 0,75 часа против намеченного срока. Если же будет ехать со скоростью 12,5 км в час, то приедет в В ранее намеченного срока на 0,21 часа. Каково расстояние от А до В и с какой скоростью должен ехать велосипедист, чтобы приехать в В в намеченный срок?

55. Вода вливается в резервуар через две трубы и выливается через третью трубу. Одна первая труба могла бы наполнить резервуар в 10 мин., одна вторая − в 40 мин. Через третью трубу вся вода из полного резервуара может вытечь в 20 мин. Во сколько времени наполнится водой пустой резервуар при одновременном действии всех трёх труб?

56. Три тракториста вспахали колхозное поле в 4 дня. Первый тракторист работал в 1,2 раза быстрее второго; второй − в 1,25 раза быстрее третьего. Во сколько дней могли бы вспахать всё поле первые два тракториста, работая вместе?

57. Для пошивки шинелей воспитанникам ремеслен­ного училища база отпустила 1240 м серого и чёрного сукна за 42 120 руб. с наценкой, равной 0,0125 того, что самой базе стоило всё сукно. Метр серого сукна стоит самой базе 30 руб., а метр чёрного 40 руб. Сколько серого и чёрного сукна в отдельности отпущено базой?

58. Из двух сортов сухих яблок ценой по 8,7 руб. и 7,75 руб. за килограмм составлена смесь ценой по 8,4 руб. за килограмм. Сколько взято яблок каждого сорта, если яблок первого сорта в смесь вошло на 1,4 кг больше, чем яблок второго сорта?

59. Пошивочная мастерская в первый раз получила всего отпущенного сукна, во второй раз − на 120 м больше, чем в первый раз. Из всего полученного сукна были сшиты 60 пальто и І 5 костюмов. На каждый костюм шло на 0,5 м больше, чем на каждое пальто. Сколько метров употребили на каждый костюм и каждое пальто в отдельности?

60. В саду с 5 яблонь собрали по 18,4 кг яблок «антоновка», с 4 яблонь − по 16,5 кг яблок «коричневая», с 11 яблонь − по 12,2 кг яблок «анис» с каждой яблони. Сколько килограммов яблок в среднем собрали с одной яблони?

61. Пассажирский поезд в каждые 0,6 часа проходит 37,5 км, а скорость товарного поезда составляет 0,76? скорости пассажирского поезда. Через 7 час. 15 мин. после выхода товарного поезда по тому же пути отправился пассажирский поезд. Через сколько часов после своего выхода и на каком расстоянии от места отправления пассажирский поезд догонит товарный?

62. Три бригады доставили на пристань груз общим весом в 1485 т, вторая бригада привезла 0,8 того, что первая, а третья в раза больше того, что привезли первая и вторая бригады вместе. Сколько машин работало в третьей бригаде, если груз был ею доставлен в течение трёх дней, причём каждая машина делала по 4 рейса в день, перевозя при каждой поездке в среднем по 2,5 т груза?

63. Трое рабочих должны выполнить некоторую работу. Первый рабочий может выполнить всю работу, работая один, в 10,5 рабочих дней, второй, работая один, в 15,75 рабочих дней, а одному третьему рабочему