2.12. Десятичные дроби

Дроби со знаменателем 10 употреблялись индийцами при извлечении квадратных корней. Когда корень не извлекается точно, они приписывали к подкоренному числу столько пар нулей, сколько лишних знаков желательно было иметь в корне. Желая увеличить точность результата при делении, индусы также приписывали нули к делимому. Но получаемые десятичные дроби писались в виде обычной дроби со знаменателем 10. Первая десятичная дробь была записана французским математиком Ф. Виета. Первым последовательно изложил теорию бельгиец Симан Стевин: 13,56 13(0)5(1)6(2); 0,48 4(2)8(3).

Запятая в записи десятичной дроби впервые применена немецким астрономом и математиком Кеплером. C XVIII века, после введения метрической системы мер, десятичные дроби употребляются повсеместно.

Определение 22. Десятичной называют дробь вида где

Пусть в десятичной системе счисления числитель имеет вид:

Тогда для дроби имеем:

Десятичную дробь в позиционной десятичной системе счисления записывают следующим образом:

Пример. .

Если числитель содержит менее десятичных знаков, то перед ним пишут столько нулей, чтобы получилось цифра, после чего отделяют знаков с конца десятичной записи (,).

Пример.

Целое число называют целой частью десятичной дроби, а цифры − десятичными знаками.

Теорема 48. Если приписать к десятичной дроби любое число нулей справа, то получится десятичная дробь эквивалентная данной.

Доказательство. Запишем данные дроби в виде обыкновенных дробей:

=

Дроби Теорема доказана.

Следствие. Для приведения двух десятичных дробей к общему знаменателю достаточно уравнять в них число десятичных знаков после запятой, приписывая в случае необходимости к одной из них справа несколько нулей.

2.13. Операции над десятичными дробями

Алгоритм сравнения десятичных дробей:

− уравниваем в дробях число десятичных знаков после запятой;

− отбрасываем в полученных числах запятые;

− сравниваем полученные натуральные числа.

Пример. Сравним дроби 1,986 и 1,98.

Решение. Уравняем в данных дробях число десятичных знаков после запятой: 1,986 и 1,980. Отбросим в полученных числах запятые и сравним полученные натуральные числа: Следовательно,

Сложение, умножение, вычитание, деление (если последние две операции выполнимы) конечных десятичных дробей сводятся к соответствующим операциям над натуральными числами.

Алгоритм сложения десятичных дробей:

− уравниваем в дробях число десятичных знаков после запятой, приписывая, справа, в случае необходимости, к каждой из этих дробей несколько нулей;

− отбрасываем в полученных дробях запятые и складываем полученные при этом натуральные числа;

− в сумме отделяем запятой столько же знаков, сколько отделено в любом слагаемом.

Пример. Сложим дроби 1,986 и 1,98.

Решение. Уравняем в данных дробях число десятичных знаков после запятой: 1,986 и 1,980. Отбросим в полученных числах запятые и складываем полученные при этом натуральные числа: Отделим в сумме запятой столько же знаков, сколько отделено в любом слагаемом:

Алгоритм умножения десятичных дробей.

− отбрасываем в записи десятичных дробей запятые;

− находим произведение полученных натуральных чисел;

− в произведении отделяем запятой столько последних цифр, сколько их всего в первом и втором множителе вместе.

Пример. Умножим 2,36 и 4,25.

Решение. Отбросим в записи десятичных дробей запятые и найдем произведение полученных натуральных чисел:

В произведении отделим запятой столько последних цифр, сколько их всего в первом и втором множителе вместе: 10,0300=10,03.

Не любые обыкновенные дроби можно представить в виде конечной десятичной дроби. Поэтому в общем случае деление на множестве десятичных дробей не выполнимо, то есть не является бинарной алгебраической операцией. Если деление выполнимо, то алгоритм следующий.

Алгоритм деления десятичных дробей:

− отбрасываем в записи делителя запятую, умножив тем самым на некоторую степень числа 10;

− переносим в делимом запятую вправо на соответствующее число знаков умножив его тем самым на ту же степень числа 10;

− проводим деление «уголком», приписывая к делимому нули до тех пор пока деление не закончится.

− в момент исчерпания целой части делимого в частном ставим запятую.

Пример. Разделим а) 23,6 на 2,5; б) 2,36 на 2,5.

Решение. Отбросим в записи делителя запятую, умножив на 10, получим число 25. Перенесем в делимом 23,6 запятую вправо на один знак, имеем: Проводим деление «уголком», приписывая к делимому нули до тех пор, пока деление не закончится. В момент исчерпания целой части делимого в частном ставим запятую.

а) б)

Правило умножения десятичных дробей на числа вида . Для того чтобы умножить десятичную дробь на надо в десятичной записи числа отделить запятой лишь последних цифр, то есть перенести запятую на знаков вправо. Если число цифр после запятой в записи дроби меньше, чем, то предварительно следует приписать справа соответствующее число нулей.

Пример. Выполним умножение:

Правило деления десятичных дробей на числа вида . Для того чтобы разделить десятичную дробь на надо в десятичной записи числа отделить запятой последних цифр, то есть перенести запятую на цифр вправо.

Если число цифр в записи дроби меньше чем , то предварительно следует приписать слева соответствующее число нулей.

Примеp. Выполним деление: