Решение арифметических задач с дробями
Арифметическую задачу будем рассматривать как субъективное, психологическое отражение внешней ситуации, в которой развертывается целенаправленная деятельность субъекта, а процесс решения арифметических задач ‒ как сложный аналитико-синтетический процесс направленного взаимодействия субъекта с объективным содержанием решаемой задачи.
В процессе решения задач осуществляется взаимодействие знаний и действий: знание содержания задачи актуализирует действия по его анализу; действия, преобразуя условие задачи, раскрывая в нем новые стороны, создают предпосылки для отражения этих новых сторон, то есть актуализации новых знаний; те, в свою очередь, актуализируют новые действия и т.д. Формирование компетенций предполагает развитие как содержательной стороны мышления (знаний), так и действенной его стороны (операций).
Практические задания занимают большое место в учебном процессе и выступают средством организации математической деятельности студентов, носителем действий, адекватных содержанию обучения математике, средством целенаправленного формирования и развития учебно-познавательной, информационной, математической, методической компетенций, средством связи теории с практикой, реализации внутрипредметных и межпредметных связей.
Рациональная практическая деятельность человека в современном мире возможна благодаря постоянному упрощению, пренебрежению несущественными аспектами ситуации, выделению из обилия информации ее элементов, существенных с данной точки зрения, и устранению второстепенных свойств и фактов, то есть благодаря схематизации действительности.
Важным научным и методическим условием реализации концепции компетентностного подхода в математических курсах факультета педагогики и методики начального образования является обучение студентов математическому моделированию, что имеет важное значение для формирования мировоззрения студентов, поскольку естественным этапом развития познания, на котором осуществляется переход от содержательного и качественного анализа объекта к формализации и количественному анализу, является математическое моделирование реальных процессов. Моделирование общенаучный метод познания действительности, при котором для исследования объекта строится его модель, сохраняющая основные, выделенные особенности объекта исследования.
Правильная ориентация в методологических вопросах математического моделирования позволит студентам лучше понять, что такое математика, как она применяется, что такое математизация знаний. Для профессионального развития учителя ответ на вопрос, что такое математика и что является предметом ее изучения, имеет не только теоретико-философское, но и практическое значение. Поэтому тезис о том, что математика занимается изучением математических моделей реальных явлений и процессов, должен находить постоянное подтверждение.
При решении ряда заданий математические понятия и методы служат аппаратом для решения конкретных проблем. При этом студент, исследуя внематематическую проблему, формулирует различные вопросы и задачи, затем «переводит» их на язык математики (этап построения математической модели), для того чтобы решить их математическими методами (работа внутри математической модели), затем проинтерпретировать решение с учетом проблемы, поставленной в начале (интерпретация дедуктивных рассуждений и расчетов). Решение указанных проблем и возникающих на их фоне математических задач помогают студенту овладеть математическими методами решения конкретных заданий. При этом осуществляется перенос центра тяжести с обучения математике на образование посредством математики.
Процесс решения задачи можно рассматривать как выполнение некоторого сложного умственного действия, которое должно осуществляться поэтапно в соответствии с теорией формирования умственных действий. В нем можно выделить три части: ориентировочную, исполнительную и контрольно-корректировочную. Под планом решения задачи будем понимать описание хода решения конкретной задачи. Он содержит описание всех преобразований условий задачи необходимых для ее решения, указание всех логических условий применимости каждого из преобразований и указание всех признаков того вида задач, решение которых может быть осуществлено данным методом. Схему или программу, состоящую из системы указаний и ориентиров, пользуясь которыми при встрече с задачей данного вида, обучаемый может составить план ее решения.
Рассмотренные ниже этапы работы над задачей не обладают логической однозначностью, они носят организационный характер, направленный на оптимальное стимулирование деятельности мышления и достижения поставленной в задаче цели, мобилизуют и организуют потенциальный опыт студентов, помогают направить ход мысли в нужном направлении.
Выделим этапы процесса решения задачи:
получение информации исходя из содержания задачи;
анализ информации, перевод условий на язык математики;
выявление проблемной ситуации;
выявление закономерностей и установление аналогий;
построение моделей системы;
поиск процедур решения задачи;
разработка и прогноз перечня альтернатив и их следствий;
формирование критерия предпочтения, распознавание возможности применения того или иного вероятностного закона для решения данной конкретной задачи;
подбор средств аргументации (например, для обоснования выбора того или иного вероятностного закона);
корректировка решения;
реализация решения;
интерпретация решения с учетом проблемы, поставленной в начале.
В данной теме рассматриваются следующие типы текстовых задач: «на нахождение части от числа», «на нахождение числа по его части», «на движение», «на работу», «на проценты» и др. Решая любую задачу арифметически, необходимо:
‒ сделать анализ задачи (определить ее вид, выделить условие и вопрос задачи, выявить зависимости между данными и искомыми величинами);
‒ сделать символические записи, таблицы, чертежи, отражающие анализ (это требование реализуется в том случае, когда после анализа задачи еще не ясен план решения задачи);
‒ осуществить поиск способа решения (продумать, какие величины нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи; попытаться видоизменить ее, упростить условие или заменить их временно более удобными для поиска и др.);
‒ записать найденное решение;
‒ выполнить проверку.
Рассмотрим решение основных типов задач.
Задача на нахождение части числа. Гранат весит 400 г. Сколько весит часть этого яблока.
Решение.
Масса яблока 400 грамм. Чтобы найти часть
от числа, необходимо число умножить на
часть, которую надо найти. Чтобы найти
массу одной пятой части, нужно 400 умножить
на
,
получится 80. 80 граммов весит
часть яблока.
400:5=80 (г).
Ответ. 80 граммов.
Задача
на нахождение числа по его части. Сколько
страниц в книге, если
часть ее составляет 30 страниц?
Решение.
Известно, что
часть книги составляет 30 страниц. Чтобы
найти сколько страниц во всей книге,
надо 30 страниц разделить на ту часть,
которую они составляют от всей книги,
то есть на
,
(стр.)
Ответ. 180 рублей.
Составная
задача на части. Изготовив
16 деталей, рабочий выполнил
часть задания. Сколько деталей ему
осталось изготовить?
Решение.
Одна четвертая
часть задания составляет 16 деталей.
Чтобы найти объем всего задания, нужно
16 разделить на
:
.
То есть 64 детали составляет все задание.
16 деталей изготовлено. Чтобы найти,
сколько деталей осталось изготовить,
нужно из 64 вычесть 16:
.
48 деталей осталось изготовить.
Ответ: 48 деталей.
Задача. Расстояние между двумя пунктами мотоциклист проехал за 3 ч. В первый час он проехал 3/10 всего пути, во второй 9/14 остатка, а в третий остальное расстояние. Найти расстояние между двумя пунктами, если известно, что мотоциклист в третий час проехал на 12 км меньше, чем во второй.
Решение. Расстояние между двумя пунктами обозначим за 1 условную единицу.
Тогда:
(усл. ед.) – составляет путь, пройденный
в первый час.
Так
как известно, что во второй час пройдено
остатка,
то узнаем:
(усл. ед.) – составляет остаток, то есть
путь, пройденный мотоциклистом во второй
и третий час вместе; поскольку известно,
что во второй час пройдено
остатка.
Найдем
от
:
(усл. ед.)— составляет путь, пройденный
во второй час.
В
задаче известно, что в третий час пройдено
на 12
км больше, чем в во второй. Поэтому нужно
узнать, сколько усл. ед. приходится на
12
км.
(усл.
ед.) – составляет путь, пройденный в
третий час.
(усл.
ед.) – составляют 12
км.
Приходим к задаче нахождения целого числа по части.
(км)
– путь между пунктами.
Ответ. 62 км расстояние между пунктами.
Задача
на совместную работу. В
бассейн проведены три трубы. Первая
наполняет весь бассейн за 24 мин, второй
необходимо в 1
раза больше времени, чем первой. Через
третью трубу бассейн наполняется в 1,5
раза быстрее, чем через вторую. За сколько
времени три трубы, работая одновременно,
наполнят бассейн?
Решение. Данная задача «на работу». Значит всю работу, то есть емкость бассейна, принимаем за 1 условную единицу.
1)
(мин) – потребуется второй трубе, чтобы
наполнить весь бассейн.
2)
(мин) – потребуется третьей трубе, чтобы
наполнить весь бассейн.
Известна емкость бассейна и время наполнения бассейна каждой трубой в отдельности, поэтому определим производительность каждой трубы.
3)
– производительность первой трубы, то
есть такой объем бассейна наполняет
первая труба за одну минуту, работая
отдельно.
4)
– производительность второй трубы.
5)
– производительность третьей трубы.
6)
– производительность трех труб, т.е.
такой объем бассейна наполняют три
трубы за одну минуту, работая вместе.
7)
(мин) потребуется трем трубам, чтобы
наполнить весь бассейн.
Ответ. 8 минут.
Задача
на движение.
Из пункта А в пункт Б в 12 часов вышел
автобус со скоростью 48 км/ч. Через 50 мин.
из этого пункта в том же направлении
вышла автомашина со скоростью в 1
раза
большей скорости автобуса. В какое время
машина догонит автобус?
Решение. 50 минут равны 5/6 часа.
1)
– прошел автобус до выхода автомобиля.
2)
– скорость автомобиля.
3)
– разность скоростей (скорость сближения
объектов).
4)
–
потребуется автомобилю, чтобы догнать
автобус.
5)
,
в 17 ч 50 мин автомобиль догонит автобус.
Ответ. В 17 ч 50 мин автомобиль догонит автобус.