Вопросы для самопроверки
Дайте определение разности положительных рациональных чисел.
Сформулируйте необходимое условие существования разности положительных рациональных чисел.
Докажите теорему о единственности разности положительных рациональных чисел.
Как найти разность положительных рациональных чисел представленных дробями с одинаковыми знаменателями? Как найти разность положительных рациональных чисел представленных дробями с различными знаменателями?
Докажите, что разность положительных рациональных чисел от выбора представителей этих чисел не зависит.
Сформулируйте определение частичной алгебраической бинарной операции вычитания положительных рациональных чисел.
Укажите свойства частичной бинарной алгебраической операции вычитания.
Сформулируйте теорему о связи операции вычитания с операцией сложения.
Докажите, что
Докажите, что вычитание положительных рациональных чисел не ассоциативно.
Докажите, что
Докажите, что операция вычитания положительных рациональных чисел монотонна относительно отношений «больше» и «меньше».
Докажите, что операция вычитания положительных рациональных чисел сократима относительно отношений «равно», «меньше», «больше».
Докажите, что для любых и выполняются хотя бы одно из соотношений:
2.6.3. Умножение положительных рациональных чисел
Определение
19.
Произведением
положительного рационального числа
,
представленного дробью
и положительного
рационального числа
,
представленного дробью
называют положительное рациональное
число
представителем которого является дробь
то есть
При этом числа
и
называются множителями,
а число
− произведением.
Теорема 36. Произведение положительных рациональных чисел от выбора представителей этих чисел не зависит, то есть существует в виде единственного положительного рационального числа.
Доказательство.
Пусть даны
и
Умножим первое
равенство на
второе на
Таким образом, обе дроби принадлежат одному и тому же положительному рациональному числу. Кроме того, по определению «произведения» положительных рациональных чисел имеем:
Теорема доказана.
На можно задать бинарную алгебраическую операцию нахождения произведения, которую называют умножением.
Определение 20. Умножением положительных рациональных чисел называется бинарная алгебраическая операция, при которой образом пары положительных рациональных чисел является их произведение.
2.10. Свойства операции умножения
Теорема 37. Коммутативное свойство умножения.
Доказательство.
Пусть
− произвольные положительные рациональные
числа и
По определению
произведения положительных рациональных
чисел имеем
Кроме того
то есть справедливы все свойства
натуральных чисел, следовательно,
Теорема доказана.
Теорема 38. Ассоциативное свойство умножения.
Доказательство.
Пусть
− произвольные положительные рациональные
числа и
По определению произведения положительных рациональных чисел имеем:
Все числа
,
следовательно, справедливы все свойства
натуральных чисел, то есть
Теорема доказана.
Теорема 39. Дистрибутивный закон умножения положительных рациональных чисел относительно сложения.
Доказательство.
Пусть
− произвольные положительные рациональные
числа и
Все числа
натуральные, следовательно, выполняются
все свойства натуральных чисел:
Таким образом,
Теорема доказана.
Справедливы следующие теоремы.
Теорема 39.1.
Теорема 39.2.
Теорема 39.3.
Теорема 40.
Доказательство.
Пусть
− произвольные положительные рациональные
числа и
Все числа
натуральные, следовательно, выполняются
все свойства натуральных чисел. Для
доказательства утверждения применим
метод «от противного».
Пусть
Однако, по условию
имеем:
;
Однако, по условию
имеем:
Полученное противоречие и доказывает теорему.
Теорема 40. Монотонность операции умножения положительных рациональных чисел относительно отношения «равно».
Доказательство.
Пусть
− произвольные положительные рациональные
числа и
Все числа,
,
следовательно, справедливы все свойства
натуральных чисел. По условию
умножим обе части равенства на
Теорема доказана.
Теорема 41. Монотонность операции умножения положительных рациональных чисел относительно отношения «меньше».
Доказательство.
Теорема 42. Монотонность операции умножения положительных рациональных чисел относительно отношения «больше».
Докажите самостоятельно.