2.6.2. Вычитание на

Определение 17. Разностью положительных рациональных чисел и , представленных дробями и называют положительное рациональное число , представителем которого является дробь то есть

При этом числа и называют называют соответственно уменьшаемым и вычитаемым этой разности, а число − разностью.

Теорема 26. Необходимое условие существования разности. Разность двух положительных рациональных чисел существует тогда и только тогда, когда вычитаемое меньше уменьшаемого.

Доказательство. По определению разности положительных рациональных чисел в силу необходимого условия существования разности натуральных чисел имеем: следовательно, по определению отношения «больше» натуральных чисел по определению отношения «больше» положительных рациональных чисел Теорема доказана.

Теорема 27. Разность положительных рациональных чисел от выбора представителей этих чисел не зависит, то есть если разность двух положительных рациональных чисел существует, то в виде единственного рационального числа.

Доказательство. Пусть тогда по определению равенства положительных рациональных чисел имеем: следовательно,

Умножим первое равенство на а второе на имеем:

Вычтем почленно из первого равенства второе, имеем:

следовательно, следовательно,

Таким образом, обе дроби являются представителями одного и того числа. Теорема доказана.

Теорема 28. Разностью положительных рациональных чисел и , представленных дробями с одинаковыми знаменателями и является положительное рациональное число , представителем которого является дробь

Доказательство. По определению разности положительных рациональных чисел имеем:

Определение 18. Вычитанием положительных рациональных чисел называют частичную бинарную алгебраическую операцию, при которой образом пары положительных рациональных чисел является их разность.

Теорема 29. Связь операции вычитания с операцией сложения. Сумма разности двух положительных рациональных чисел с вычитаемым равна уменьшаемому, то есть

Доказательство. Выберем представителей чисел с одинаковыми знаменателями:

По определению разности имеем: Сложим разность и вычитаемое, тогда Теорема доказана.

2.8. Свойства операции вычитания

Свойство 1. Некоммутативность вычитания положительных рациональных чисел.

Доказательство. Действительно, если существует разность

Свойство 2. Неассоцативность вычитания положительных рациональных чисел.

Доказательство. Действительно, достаточно привести пример:

Свойство 3. Операция вычитания положительных рациональных чисел монотонна относительно отношений «равно», «больше», «меньше».

То есть справедливы следующие теоремы.

Теорема 30. Монотонность операции вычитания положительных рациональных чисел относительно отношения «равно».

Доказательство. Пусть − произвольные положительные рациональные числа и

По условию Кроме того, по условию То есть

Существует разность , то есть

Так как то

Известно, что числа − натуральные, то есть выполняются все свойства натуральных чисел, значит, если тогда

При этом

Теорема доказана.

Теорема 31. Монотонность операции вычитания положительных рациональных чисел относительно отношения «меньше».

Доказательство. По условию имеем: следовательно, по определению отношения «меньше»

По условию имеем: следовательно, по определению отношения «меньше» по определению отношения

Далее имеем Теорема доказана.

Теорема 32. Монотонность операции вычитания положительных рациональных чисел относительно отношения «больше».

Доказательство. По определению отношения «больше» имеем: Следовательно, по определению отношения «больше» имеем: . Теорема доказана.

Свойство 3. Операция вычитания положительных рациональных чисел сократима относительно отношений «равно», «больше», «меньше».

То есть справедливы следующие теоремы.

Теорема 33. Сократимость операции вычитания положительных рациональных чисел относительно отношения «равно».

Доказательство. Пусть − произвольные положительные рациональные числа. По условию имеем: следовательно, Теорема доказана.

Теорема 34. Сократимость операции вычитания положительных рациональных чисел относительно отношения «меньше».

Доказательство. Докажем данное утверждение методом «от противного». Пусть и

Так как в силу монотонности отношения «больше» имеем: Так как следовательно, .

Оба отношения противоречат условию:

Полученное противоречие и доказывает утверждение, или Л И. Теорема доказана.

Теорема 35. Сократимость операции вычитания положительных рациональных чисел относительно отношения «больше».

Доказательство.

Свойство 4. Для любых и выполняются хотя бы одно из соотношений:

:

Доказательство. Пусть Рассмотрим разность она представлена дробью

Рассмотрим три случая:

‒ если то по определению отношения «меньше» и

‒ если то

‒ если то по определению «меньше»

Теорема доказана.

Таким образом, введенное на множестве бинарное отношение «меньше» является отношением строгого линейного порядка, а множество − линейно упорядоченным множеством.