2.2.3. Свойства отношения «меньше»

Свойство 1. Отношение «меньше» антирефлексивно на множестве , то есть

Доказательство. Докажем утверждение противного»: пусть что противоречит антирефлексивности отношения «меньше» на множестве

Свойство 2. Отношение «меньше» антисимметрично на множестве , то есть

Доказательство. Пусть

Имеем

Свойство 3. Отношение «меньше» транзитивно на множестве , то есть

Доказательство. Выберем представителей с одинаковыми знаменателями:

По условию, имеем

Следовательно, справедлива следующая теорема.

Теорема 14. Отношение «меньше» является строгим порядком на множестве .

2.2.4. Отношение больше на множестве

Определение 15. Положительное рациональное число больше положительного рационально числа , тогда и только тогда, когда меньше , то есть

Теорема 14.1. Отношение «больше» на является строгим порядком.

Доказательство. Докажем антирефлексивность отношения «больше», то есть Доказательство проведём методом «от противного». Пусть , что противоречит антирефлексивности отношения «меньше».

Докажем атисимметричность отношения «больше», то есть По условию a >b >a

Докажем транзитивность отношения «больше», то есть

Выберем представителей с одинаковыми знаменателями:

Теорема доказана.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение равенства двух положительных рациональных чисел. Приведите примеры равных рациональных чисел.

2. Докажите теорему о том, что отношение равенства положительных рациональных чисел является отношением эквивалентности.

3. Сформулируйте определение, когда положительное рациональное число меньше положительного рационального числа .

4. Докажите, что отношение «меньше» на множестве от выбора представителей чисел, для которых рассматривается данное отношение, не зависит.

5. Сформулируйте теоремы о представителе рационального числа с одинаковым числителем и одинаковым знаменателем.

6. Докажите теорему о том, что любое положительное рациональное число имеет несократимого представителя.

7. Докажите теорему о том, что два положительных рациональных числа имеют представителей с общими знаменателями (числителями).

8. Укажите свойства отношения «меньше» на множестве .

9. Докажите антирефлексивность отношения «меньше» на множестве .

10. Докажите, что

11. Докажите транзитивность отношения «меньше» на множестве .

12. Сформулируйте определение, когда положительное рациональное число больше положительного рационального числа .

13. Укажите свойства отношения «больше» на множестве .

14. Докажите, что

15. Докажите антисимметричность отношения «больше» на множестве .

16. Докажите транзитивность отношения «меньше» на множестве .

2.5. Операции на множестве

2.5.1. Операция сложения на

Определение 16. Суммой положительных рациональных чисел и , представленных дробями и называют положительное рациональное число , представителем которого является дробь

При этом числа и называют слагаемыми, а число − суммой.

Теорема 15. Суммой положительных рациональных чисел, представленных дробями с одинаковыми знаменателями и является положительное рациональное число, представителем, которого является дробь .

Доказательство. По определению суммы положительных рациональных чисел имеем

Теорема 16. Сумма положительных рациональных чисел от выбора представителей этих чисел не зависит, то есть сумма двух положительных рациональных чисел существует в виде единственного числа .

Доказательство. Пусть

Умножим первое равенство на , а второе , имеем:

Сложим данные равенства почленно, тогда:

Таким образом, обе дроби являются представителями одного и того же числа. Теорема доказана.

Определение 15. Сложением положительных рациональных чисел называют алгебраическую бинарную операцию, при которой образом пары положительных рациональных чисел является их сумма.