I этап. Условная оптимизация

1-й шаг. . Начнем процедуру условной оптимизации с последнего, десятого года планового периода. Для этого шага состояние системы: = 0, 1, 2, …, 9, 10. Функциональное уравнение (4.5) с учетом числовых данных примера принимает вид

Тогда

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Полученные результаты занесем в таблицу (первая строка таблицы 25).

2-й шаг. . Проанализируем девятый год планового периода. Для второго шага возможны состояния системы  = 0, 1, 2, …, 9, 10. Функциональное уравнение (4.6) с учетом числовых данных примера принимает вид

Тогда

;

;

;

;

;

;

;

;

Цепь решений безусловной оптимизации можно изобразить символически следующим образом:

.

Итак, на оборудовании возраста 3 года следует работать 2 года, затем произвести замену оборудования, на новом оборудовании работать 3-й, 4-й, 5-й и 6-й годы, после чего произвести замену оборудования и на следующем оборудовании работать 7-й, 8-й, 9-й и 10-й годы планового периода. При этом прибыль будет максимальной и составит  = 169 ден. ед.

.1.3. Задача о раскрое

Пусть на обработку поступает a единиц сырьевого материала одного вида (например, a бревен одной длины). Из него требуется изготовить комплекты, в каждый из которых входит n видов изделий в количестве, пропорциональном числам . Имеется m способов раскроя (обработки) данного материала, т.е. известны величины определяющие количество единиц j-х изделий при i-м способе раскроя единицы сырьевого материала.

Определить план раскроя, обеспечивающий максимальное количество комплектов. Согласно условиям задачи имеем таблицу раскроя:

Вид изделия Способ раскроя	1	...	j	...	n
1	a11	...	a1j	...	a1n
…	...	...	...	...	...
i	ai1	...	aij	...	ain
…	...	...	...	...	...
m	am1	...	amj	...	amn

Пусть – количество единиц сырьевого материала, раскраиваемого i-м вариантом ( .

Тогда количество изделий 1-го вида равно:

.

Принимая во внимание условие комплектности, имеем:

где y – количество комплектов.

Аналогичные равенства можно записать и для всех остальных видов изделий, т.Е. Условие комплектности приводит к системе ограничений:

Очевидно,

(На раскрой поступает a единиц сырьевого материала), а также

Цель задачи – максимизировать количество комплектов:

.

Итак, приходим к математической модели задачи о раскрое:

,

.

Чтобы выразить целевую функцию через переменные x₁,…,x_m, достаточно воспользоваться любым из соотношений:

Пусть имеется m пунктов производства однородного продукта (добыча руды в карьерах, производство автобусов, кондитерских изделий, компьютеров и т.д.) и n пунктов потребления этого продукта. Мощности пунктов производства составляют а_i единиц однородного продукта, а потребности каждого j-го пункта потребления равны единиц. Известны затраты на перевозку единицы продукта от i-го поставщика j-му потребителю. Составить такой план перевозок, при котором суммарные затраты на все перевозки были бы наименьшими. Пусть спрос и предложение совпадают, т.е. Такую транспортную задачу называют сбалансированной (закрытой). При этом предполагается, что вся продукция от поставщиков будет вывезена и спрос каждого из потребителей будет удовлетворен.

Составим математическую модель задачи. Обозначим через  количество продукта, перевозимого из i-го пункта производства в j-й пункт потребления. Тогда матрица:

 план перевозок.

Матрицу называют матрицей затрат (тарифов).

Внесем исходные данные и перевозки в транспортную таблицу:

bj ai	b1	b2	...	bn
a1	c11 x11	c12 x12	...	c1n x1n
a2	c21 x21	c22 x22	...	c2n x2n
...	...	...	...	...
am	cm1 xm1	cm2 xm2	...	cmn xmn

Предположим, что транспортные затраты прямо пропорциональны количеству перевозимого продукта. Тогда суммарные затраты выразятся функцией цели:

которую необходимо минимизировать при ограничениях:

(весь продукт из каждого i-го пункта должен быть вывезен полностью),

(спрос каждого j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен).

Из условия задачи следует, что все

Итак, математическая модель сбалансированной транспортной задачи имеет вид: