С учетом (6) выражение (5) можно переписать в виде

V_ф = . (7)

Групповая скорость V_гр характеризует скорость перемещения высокочастотной энергии вдоль оси волновода за время t на расстояние АД: V_гр=АД/t=AВsin /t. Если t равно Т, то для волновода с воздушным заполнением

V_гр=Сsin =C = . (8)

Из равенства (8) видно, что скорость распространения энергии меньше скорости света. Между рассмотренными скоростями существует простая зависимость: V_ф V_гр =C².

Из изложенного видно, что фазовая и групповая скорости волны в волноводе являются функциями частоты или длины волны, а также зависят от параметров среды, заполняющей волновод. Причем каждому типу колебаний Н_mn или E_mn. соответствует своя критическая длина волны, а следовательно и скорость распространения. На рис.3 приведены теоретические зависимости фазовой и групповой скоростей от частоты f для волновода прямоугольного сечения с воздушным заполнением. При частоте, близкой к критической частоте соответствующего типа колебаний, фазовая скорость стремится к бесконечности, а групповая – к нулю. С увеличением частоты относительно критической фазовая и групповая скорости стремятся к скорости света. Для волновода с диэлектрическим заполнением >1 критическая частота уменьшается , область отсечки сдвигается влево, график фазовой скорости сместится влево и вниз. Поскольку критические длины воли H₂₀ и H₀₁ меньше критической длины волны H₁₀, то фазовые скорости волн высших порядков больше фазовой скорости низшей волны Н₁₀. Явление, характеризующее зависимость фазовой и групповой скоростей от частоты, называется дисперсией. Среды, в которых эго явление наблюдается, называются дисперсными или дисперсионными.

Рис. 3

Дисперсия, при которой фазовая скорость больше скорости распространения энергии электромагнитной волны V_гр, называется нормальной. Поскольку в волноводе с волной Н₁₀ фазовая скорость больше групповой, то волновод является средой с нормальной дисперсией. Явление дисперсии приводит к тому, что передаваемый в такой среде сигнал будет искажаться, так как отдельные гармоники, на которые этот сигнал можно разложить, будут распространяться с различными скоростями (рис. 3) и различным затуханием, что будет пояснено в дальнейшем. Рассмотрим простейший случай, когда передаваемый по волноводу сигнал состоит из двух синусоидальных колебаний с равными амплитудами E_m, круговыми частотами и волновыми числами , отличающимися на малые величины и (рис.4). При этом не будем учитывать потери в волноводе, а его стенки считаем идеально проводящим. Итак,

Суммарная волна, распространяющаяся вдоль оси , волновода, имеет вид

Преобразуем это выражение

При условии и , используя формулу Эйлера, получим

Это выражение можно рассматривать как синусоиду с «несущей» высокой частотой f = , амплитуда которой, медленно меняется с низкой частотой «биений» (частота модуляции) , причем f.

Рис. 4

Модулированная волна распространяется с фазовой скоростью

V_ф = =C ,

а распространение максимума огибающей, т.е. точки, в которой напряженность электрического поля имеет максимальное значение 2Е_m (рис.4), происходит со скоростью, называемой групповой V_гр. Групповая скорость определяется из условия

. (9)

Для упрощения последующих выкладок приравняем выражение (10) нулю. Тогда оно преобразуется к следующему виду:

. (10)

При и в формуле (10) можно перейти к дифференциалу, который будет являться групповой скоростью

V_гр = = = +.

Учитывая, что ,

Получим V_гр=V_ф - . (11)

Подставив в формулу (11) выражение фазовой скорости из формулы (5) и проведя дифференцирование, получим выражение (8).

Из изложенного можно сделать вывод, что скорость распространения энергий в волноводе равна скорости распространения максимума огибающей модулированной волны, т.е. групповой скорости.

До сих пор мы рассматривали волноводы с идеально проводящими стенками, не имеющие потерь. Распространение волны в таких волноводах происходит без затухания. Однако металлы, из которых изготавливаются волноводы, обладают большой, но все же конечной величиной проводимости. Поэтому поле электромагнитной волны частично проникает вглубь проводника и нагревает его, что приводит к потерям энергии. Наряду с потерями в стенках волновода имеются потери в диэлектрической среде, заполняющей волновод. Все это вместе взятое определяет затухающий характер волны, распространяющейся в волноводе. При наличии потерь в линии передачи постоянная распространения является величиной комплексной, а поле изменяется по закону

.

Член е характеризует экспоненциальное уменьшение напряженности электрического поля за счет рассеяния в линии передачи, а – показывает изменение фазы при распространении волны по оси z из одной точки в другую. Коэффициент затухания для волн типа H_mn в прямоугольном волноводе с воздушным заполнением определяется выражением [1]

_{, (12)}

где = ;

=1 при n=0; =1 при m=0;

=2 при n 0; =2 при m 0;

– проводимость стенок волновода;

a и b – размера широкой и узкой стенок.

Для волны H₁₀ выражение (12) преобразуется к виду

. (13)

Как видно из приведенных выражений (12) и (13),затухание , волн в волноводе зависят от длины волны (от частоты f), от проводимости металла и от поперечных размеров волновода. На рис. 5 приведены зависимости затухания от частоты для прямоугольного волновода.

Рис.5.

При частотах, близких к критическим частотам колебаний H₁₀, H₂₀ и H₀₁, затухание каждого типа волн растет за счет увеличения числа отражений от стенок волновода, приходящихся на единицу длины волновода, так как угол падания =0° и при каждом отражении часть энергии рассеивается (поглощается) в стенках. При увеличении частоты сигнала по отношению к критической частоте угол падения увеличивается, следовательно, уменьшается число отражений от боковых стенок и уменьшается общая длина пути плоской электромагнитной волны в волноводе. Поэтому в этой области частот уменьшается затухание, вносимое боковыми стенками, а также верхней и нижней стенками. При значительном увеличении частоты относительно критической число отражений от боковых стенок волновода стремится к нулю, а длина зигзагообразной линии пути волны приближается к длине прямой двухпроводной линии, образованной боковыми стенками волновода. В этом случае затухание, вносимое боковыми стенками, стремится к нулю, а затухание, вносимое верхней и нижней стенками, будет возрастать пропорционально корню квадратному из частоты, так как возрастает поверхностное сопротивление, что приводит к росту потерь на нагрев. Эти две причины, вызывающие рост затухания в волноводе, действуют одновременно с преобладанием одной из них в зависимости от выбранной рабочей частоты. Волны H₂₀ и H₀₁ имеют большее затухание, чем волна H₁₀, как волны высшего порядка.

Если размеры поперечного сечения волновода выбраны стандартными (a=0.75 и b=0,5a, где – средняя длина волны рабочего диапазона), то затухание

, .

Так как для меди поверхностное сопротивление , то Отсюда следует, что в коротковолновой части сантиметрового диапазона потери в стандартных волноводах весьма велики. Объясняется это тем, что с укорочением длины волны уменьшаются поперечные размеры волновода, что сопровождается возрастанием плотности поверхностного тока проводимости в его стенках, и соответственно возрастают потери. В некоторых случаях, чтобы уменьшить потери, увеличивают размеры поперечного сечения волновода по сравнению со стандартными. Отметим еще, что с увеличением площади поперечного сечения волновода затухание уменьшается, как видно на рис.5 из сравнения кривых затухания для волновода с отношением стенок a/b=5,0, a/b=2,1 и a/b= 1,0. Если волновод заполнить диэлектриком с >1, то кривая затухания смещается влево и вверх.

Затухание волн в волноводе существенно влияет на режим волн в волноводной линии передачи. Режимы волн в линии передачи характеризуются коэффициентами бегущей волны КБВ или стоячей волны КСВ, причем

(14)

где U_max – напряженность в максимуме суммарного поля, полученная в результате сложения падающей от генератора волны на нагрузку и отражённой волны от нагрузки; U_min – напряженность поля в узле суммарного поля; – комплексный коэффициент отражения на входе линии длиной l. В свою очередь, коэффициент отражения на входе зависит от коэффициента отражения от нагрузки линии , затухания и длины линии l следующим образом:

= _н е^{-2 l} = _н е^{-2 l} e^{i2 l} . (15)

Подставив модуль выражения (15) в (14), получим

КСВ= . (16)

Величина модуля коэффициента отражения от нагрузки может меняться в пределах от нуля до единицы. Если коэффициент отражения от нагрузки равен нулю, то в линии устанавливается режим бегущих волн, тогда КСВ=КБВ=I. Если модуль коэффициента отражения от нагрузки равен единице, т.е. равны амплитуды падающих на нагрузку и отраженных от нее волн, то в линии при отсутствия потерь ( =0) устанавливается режим стоячих волн.

Рис. 6

Амплитуда в максимуме стоячей волны равна удвоенному значению амплитуды падающей волна. Амплитуда в узле суммарного поля равна нулю. Коэффициент стоячей волны соответственно равен бесконечности, а КБВ=0. Режим стоячей волны образуется в линии замкнутой или разомкнутой на конце при отсутствии в линии потерь. На рис.6 приведено нормированное к амплитуде падающей волны U_{m пад.} распределение поля суммарной волны вдоль линии передачи для различных значений модуля коэффициента отражения от нагрузки . В режиме стоячих волн =1 и соответствующая кривая семейства принимает вид так называемой коммутированной синусоиды. Минимумы кривых для больших значений выражены более отчетливо, чем максимумы. Расстояние между минимумами равно половине длины волны в линии передачи. При уменьшении уменьшается KСВ, минимум становится менее остроконечным и кривая приближается к синусоиде. В линии с потерями амплитуда отраженной волны от короткозамкнутой нагрузки не будет равна амплитуде волны, возбуждаемой в волноводе генератором, так как волна на длине l получит затухание, двигаясь от генератора к нагрузке и от нагрузки к генератору. Поэтому значение КБВ в этом случае будет не равно нулю, а КСВ – соответственно не равно бесконечности. Следовательно, по измеренным значениям КБВ или КСВ можно судить о затухании волны в линии передачи.

Действительно, если в выражении (16) принять модуль коэффициента отражения от нагрузки равным единице, то оно легко может быть преобразовано к виду

, (17)

Если КСВ>10, что реально в линии, замкнутой на конце, то гиперболический тангенс можно заменить его аргументом

. неп. (18)

или

, дб/м. (19)

Следовательно, точность измерения затухания будет зависеть от выбранного метода измерения больших КСВ.