15. Означення добутку цілих невід’ємних чисел через суму і через чисельність декартового добутку скінчених множин. Існування добутку, його єдність, закони множення.

Означення. Добутком цілих невід'ємних чисел а і b називається таке ціле невід'ємне число а•b, яке задовольняє такі умови:1))a+a+a+…+a при b>1;

b доданків 2))а• 1-а при b=1; 3))a•0=0 при b=0.

Теоретико-множинний зміст цього означення такий. Якщо множини А_І, А₂, Аз,...Аь мають по а елементів кожна і ніякі дві з них не перетинаються, то їх об'єднання містить а•b елементів. Значить добуток а•b це число елементів в об'єднанні b попарно неперетинних множин, кожна з яких містить по а елементів. Рівності а•1=a і а•0=0 приймаються за умовою.

1. Переставний закон: для будь-яких цілих невід'ємних чисел а і b справедлива рівність а•b=b•а 2. Сполучний закон: для будь-яких цілих невід'ємних чисел а, b, с справедлива рівність (а•b•с=а•(b•с) 3. Розподільний закон множення відносно додавання: для будь-яких цілих невід'ємних чисел а, b, с справедлива рівність (а+Ь) с=а•с+b•с. Цей закон випливає із рівності (А В)хС=(АхС) (ВхС). Розподільний закон множення відносно віднімання: для будь-яких цілих невід'ємних чисел а, b, с справедлива рівність (а-b) с=а•с-b•с

16. Теоретико-множинний смисл частки цілого невід’ємного натурального числа.Необхідна умова існування частки на множині цілих невід’ємних чисел, її єдність. Неможливість ділення на нуль. Означення. Нехай а=n(А) і множину А розбито на попарно неперетинні рівнопотужні підмножини. Означення. Часткою цілого невід'ємного числам а і натурального числа b називається таке ціле невід'ємне число с=а:b. добуток якого і числа b дорівнює а. Можна показати і наявність оберненого зв'язку, тобто що із другого означення випливає перше. а:b=с<=>с•b=a. Отже, у другому випадку частку означили через добуток. Тому говорять, що ділення є дія, обернена до множення. Чи завжди існує частка натуральних чисел а і b? Відповідь на це запитання дає така теорема: Теорема. Для того щоб існувала частка двох натуральних чисел а і b, необхідно, щоб b не перевищувало а. Доведення. Нехай частка натуральних чисел а і b існує, тобто існує таке натуральне число с, що а=с•b. Для будь-якого натурального числа с справедливе твердження 1≤с. Помножимо обидві частини нерівності на натуральне число b, отримаємо b≤с•b. Оскільки с•b=а, то b≤а. Теорема доведена. Чому дорівнює частка а=0 і натурального числа b? За означенням це таке число с, яке задовольняє умову: с•b=0. Оскільки b≠0, то рівність с•b=0 буде виконуватись, коли с=0. Отже, 0:b=0, якщо bєN. Теорема. Якщо частка натуральних чисел а і b існує, то вона єдина.

17Правила ділення суми на число і число на добуток. Поняття ділення з остачею, його теоретико-множинний смисл. Правило ділення суми на число. Якщо числа а і b діляться на число с, то і їх сума а+b ділиться на число с; частка, отримана при діленні суми а+b на число с, дорівнює сумі часток, одержаних при діленні а нас і b нас, тобто: (а+b):с=а:с+b:с. Доведення. Оскільки а ділиться на с, то існує таке натуральне число т=а:с, що а=т•с. Аналогічно існує таке натуральне число п=b:с, що b=п•с. Тоді т•с+n•с=с(м+n). Звідси слідує, що а+b ділиться на с і частка, одержана при діленні а+b на с, дорівнює т+n, Тобто а:с+ b:с. Правило ділення числа на добуток. Якщо натуральне число а ділиться на натуральні числа b і с, то, щоб поділити а на добуток чисел b і с, достатньо поділити число а на b ( або с) і одержану частку поділити на с (або b): a:(b•c)=(а:b):с=(а:с):b. Доведення. Нехай (а:b):с=х. Тоді за означенням частки а:b=с•х, звідси аналогічно а=b•(с•х). На основі сполучного закону множення а=(b•c)•х. Одержана рівність означає , що а:(b•с)=х. Таким чином, (а:b):с=(а:с):b. Правило множення числа на частку двох чисел. Щоб помножити число на частку двох чисел, достатньо помножити це число на ділене і одержаний добуток поділити на дільник , тобто а:(b:с)= (а•b):с. Доведення цього правила аналогічне попередньому. Застосування сформульованих правил дозволяє спрощувати обчислення. Наприклад, щоб знайти значення виразу (780+390):26, достатньо поділити на 26 доданки 780 і 390 і отримані частки додати. Щоб знайти значення виразу 2720:(16•17), досить 2720 поділити на 16 і результат поділити на 17: 2720:( 16•17)=(2720:16): 17=170:17=10. Число 45 не ділиться на 6. Але існують такі числа 7 і 3, що 45=6•7+3. Кажуть, що ділення числа 45 на 6 виконано з остачею, при цьому знайдено неповну частку 7 і остачу 3 . Означення. Поділити з остачею ціле невід'ємне число а на натуральне число b це означає знайти такі цілі невід'ємні числа q і r, що а=b•q+r і 0≤г<b. Звернемо увагу на особливості остачі, які випливають із даного означення. Остача є ціле невід'ємне число, менше за дільник b, тому при діленні цілих невід'ємних чисел на b можна отримати всього b різних остач: 0,1,2,3,….,b-1. Наприклад, при діленні з остачею цілих невід'ємних чисел на 4 можливі остачі: 0,1,2,3. Теорема. Для будь-якого цілого невід'ємного числа а і натурального числа b існують цілі невід'ємні числа q і r, такі, що а=b•q+r, при чому

18. Алгоритм множення в десятковій системі числення. Якщо числа а і b одноцифрові, то, щоб знайти їх добуток, достатньо порахувати число елементів у декартовому добутку таких множин А і B, щоб п(А)=а, п(В)=b. Але, щоб кожного разу, виконуючи множення таких чисел, не звертатися до множин і лічби, всі добутки, що одержуються при множені одноцифрових чисел, запам'ятовують. Всі такі добутки записують в особливу таблицю, яка називається таблиця множення одноцифрових чисел. Якщо числа багатоцифрові, то, як відомо, їх перемножують «стовпчиком». Вияснимо, яка теоретична основа такого множення. Помножимо, наприклад, число 346 на число 134. Бачимо, що для отримання результату нам довелось число 346 множити на 4,3,1, тобто множити багатоцифрове число на одноцифрове; але, помноживши на 3, ми результат записуємо по-особливому, помістивши одиниці числа 1038 під десятками числа 1384, - це тому, що ми множили на 3 десятки; третій доданок 346 - це результат множення на 1 сотню. Крім того, нам довелось знайти суму багатоцифрових чисел. Отже, щоб виконати множення багатоцифрового числа на багатоцифрове, необхідно вміти: множити багатоцифрове число на одноцифрове; множити багатоцифрове число на степінь 10; додавати багатоцифрові числа. Оскільки додавання багатоцифрових чисел вивчено, вияснимо, які теоретичні основи множення багатоцифрового числа на одноцифрове і на степінь десяти.

Взагалі алгоритм множення числа х=a_nа_n-1...а₂а₁а₀ на одноцифрове число у можна сформулювати так:

1. Записуємо друге число під першим.

2. Множимо цифру розряду одиниць на число у. Якщо добуток менший 10. його записуємо в розряд одиниць відповіді і переходимо до наступного розряду (десятків).

3. Якщо добуток одиниць на число у більший або дорівнює 10. то подаємо його у вигляді 10q₁+с₀, де с₀ - одноцифрові числа; записуємо с₀ в розряд одиниць відповіді і запам'ятовуємо q₁ - переносимо у наступний розряд.

4. Перемножуємо цифру розряду десятків на число у, додаємо до одержаного добутку q₁ і повторюємо процес, описаний в пунктах 2 і 3.

5. Процес множення закінчується, коли буде перемножена цифра старшого розряду.