10. Теоретико-множинний смисл суми двох цілих невід’ємних чисел. Існування суми, її єдність. Закони додавання. Визначення відношення «менше» через додавання.

Означення: Сумою цілих невід’ємних чисел а і b називають число елементів в об’єднанні неперетинних множин А і В, таких, що n(A)=a i n(B)=b.

Сума а+b не залежить від вибору неперетинних множин А і В, таких, що n(A)=a, n(B)=b. Крім того, сума цілих невід’ємних чисел завжди існує і єдина. Іншими словами які б два цілих невід’ємних числа а і b ми не взяли, завжди можна знайти їх суму – ціле невід’ємне число с, воно буде єдиним для даних чисел а і b. Існування і єдність суми випливає із існування і єдності об’єднання двох множин.

Дія за допомогою якої знаходять суму називається додаванням, а числа, які додають, - доданками.

Закони додавання: переставний і сполучний.

Для довільних цілих невід’ємних чисел а і b виконується рівність, a+b=b+a. Для будь-яких цілих невід’ємних чисел а, b, c виконується рівність: (a+b)+c=a+(b+c), тобто має місце сполучний закон.

Сполучний закон показує, як можна знаходити суму трьох доданків: для цього досить додати перший доданок і другий і до одержаного числа додати третій доданок, або додати перший доданок до суми другого і третього. Сполучний закон не передбачає перестановки доданків.

При переставному законі - сума не зміниться при будь-якій перестановці доданків, а при сполучному – сума не зміниться при будь-якому групуванні доданків.

Із переставного і сполучного законів випливає, що сума декількох доданків не зміниться, якщо їх переставляти будь-яким способом і якщо будь-яку їх групу взяти в дужки..

Визначення відношення «менше» через додавання:

Означення: Число а менше числа b тоді, коли існує таке натуральне число с, що а+с=b.

11. Теоретико-множинний зміст різниці цілих невід'ємних чисел.Необхідна і достатня умова існування різниці і її єдність

Означення. Різницею цілих невід'ємних чисел а і b називається число елементів в доповненні множини В до множини А таких, що n(А)=а, n(В)=b, ВсА.

а-b=n(А\В), а=n(А), b= n(В), ВсА

Отже, різниця цілих невід'ємних чисел а і b існує тільки тоді, коли b<а. Дія, за допомогою якої знаходять різницю а-b, називається відніманням, число а - зменшуваним, число b - від'ємником.

Часто, щоб перевірити правильність виконання дії віднімання, звертаємось до додавання. Tому, то існує зв'язок між діями віднімання і додавання.

Означення. Різницею цілих невід'ємних чисел а і b називається таке ціле невід'ємне число с, сума якого і числа b, дорівнює а.

Кажуть, що дія віднімання є оберненою до дії додавання. Виходячи із другого означення різниці, доведемо такі теореми.

Теорема. Різниця цілих невід'ємних чисел а і b існує тоді і тільки тоді, колиb≤а.

Доведення. Якщо а=b, то а-b=0, і. значить, різниця а-b існує.

Теорема. Якщо різниця цілих невід'ємних чисел а і b існує, то вона єдина.

В початковому курсі математики вперше віднімання цілих невід'ємних чисел розглядається на основі практичних вправ, пов'язаних з виділенням підмножини даної множини і утворення нової множини - доповнення виділеної підмножини