8. Теоретико-множикний зміст кількісного натурального числа і нуля.

Множина цілих невід'ємних чисел.

Вже було встановлено, що лічба служить як для впорядкування елементів скінченної множини, так і для визначення їх кількості і що в загальному випадку порядкове число веде до кількісного.

Візьмемо яку-небудь скінченну множину А і відберемо в один клас всі рівнопотужні їй множини. Так, якщо А - множина вершин трикутника, то в один клас із нею попадуть, наприклад, такі множини: множина сторін трикутника, множина букв у слові "мир" і т,д.

Вибравши яку-небудь іншу скінченну множину В, нерівнопотужну множині А. відберемо всі множини, рівнопотужні її. В результаті отримаємо новий клас скінченних множин.

Якщо продовжити цей процес, то, в силу того, що відношення рівнопотужності є відношенням еквівалентності, всі скінченні множини будуть розподілені по класах еквівалентності, причому будь-які дві множини одного класу будуть рівнопотужними, а будь-які дві множини різних класів - не рівнопотужними.

Всі множини одного і того ж класу мають однакову потужність. Цю спільну властивість всіх множин одного класу еквівалентності і вважають натуральним числом. Наприклад, спільна властивість множин, рівнопотужних множині вершин трикутника, є натуральне число "три", а спільна властивість множин, рівнопотужних множині сторін прямокутника, є натуральне число "чотири".

Таким чином, з теоретико-множинної точки зору кількісне натуральне число є спільна властивість класу скінченних рівнопотужних множин.

Кожному класу ставиться у відповідність одне і тільки одне натуральне число, кожному натуральному числу-один і тільки один клас рівнопотужних скінченних множин. Кожній скінченній множині А ставиться у відповідність одне і тільки одне натуральне число а=п(А). але кожному натуральному числу а ставляться у відповідність різні рівнопотужні множини одного класу еквівалентності.

Число "нуль" також має теоретико-множинний зміст воно ставиться, у відповідність порожній множині: 0=п(Ø).

Об'єднання натуральних чисел і числа 0 дає множину цілих невід'ємних чисел: Nᴗ{0}=Z .

9. Теоретико-множинний зміст відношень «дорівнює» і «менше» на множині цілих невід'ємних чисел.

Числа а і b рівні, якщо вони визначаються рівнопотужними множинами: a=ba=n(A), b=п(В) і А~В.

Якщо множини A і В не рівнопотужні, то числа, що визначаються ними, різні.

В тому випадку, якщо множина А рівнопотужна власній підмножииі множини В і а=п(А), b=п(В), говорять, що число а менше за число b, і пишуть: а<b. В тій же ситуації говорять, що а більше заb, і пишуть: b>а.

Наведені означення відношень "дорівнює" і "менше" використовують у початковій школі, коли пояснюють, що 2=2, 3=3, 2<3, 3<4 і т.д. Наприклад, при введені запису 3=3 розглядають дві рівнопотужні множини квадратів і кругів.

При вивченні відношень 3<4 проводять міркування: візьмемо три червоних кружечки і чотири синіх і кожен червоний накладемо на синій, бачимо, що синій кружечок залишився незакритим, значить, червоних кружечків менше, ніж синіх, чому можна записати: .

Викладений підхід до означення відношення "менше" має: обмежене застосування, він може бути використаний для порівняння чисел в межах 20, оскільки пов'язаний з безпосереднім порівнянням двох груп предметів,

означення відношення "менше"

Число а менше за число b тоді і тільки тоді, коли відрізок натурального ряду N_а є власною підмножиною відрізка натурального ряду Nb

Така трактовка поняття «менше» дозволяє порівнювати числа, опираючись на знання їх місця в натуральному ряді.