5. Понятття бінарного відношення між елементами однієї множини. Способи задання бінарних відношень, їх властивості: рефлективність, симетричність, транзитивність.

Способи задання бінарних відношень

Означення. Бінарним відношенням, заданим на множині X, називають підмножину декартового добутку ХхХ або підмножину декартового квадрата ХхХ=Х.

Відношення позначають писаними літерами латинського алфавіту.

Відношення на скінченній множині X можна зображати наочно за допомогою малюнків - графів та графіків. Граф складається з точок, які сполучені стрілками. Слово «граф» походить від грецького слова «графо» -пишу.

Способи задання відношень:

1. Відношення R на множині X можна задати переліком його елементів.

2. Іншим способом задання відношення є характеристичний спосіб. Вказується характеристична властивість всіх пар елементів у відношенні R.

Властивості бінарних відношень

Означення. Відношення R на множині X називають рефлексивним, якщо про будь-який елемент хєХ можна сказати, що він знаходиться у відношенні R сам з собою,

Означення. Відношення R на множні X називають симетричним, якщо для будь яких X і у із множини X з того, що елемент х знаходиться у відношенні

Означення. Відношення R на множині X називається транзитивним, якщо для всіх х, у. z, з того, що елемент х знаходиться у відношенні R з елементом у і елемент у перебуває у відношенні R з елементом z слідує, що елемент х знаходиться у відношенні R з елементом z

6. Відношення еквівалентності і порядку. Зв’язок відношення еквівалентності із розбиттям множин на класи.

Означення: Відношення R на множині X називають відношенням еквівалентності або еквівалентністю, якщо воно рефлексивне, симетричне, транзитивне.

Прикладом еквівалентності можуть бути:

1)відношення рівності на довільній множині;

відношення паралельності прямих на площині;відношення подібності на множині всіх трикутників площини.

За допомогою відношення еквівалентності виконується досить поширена операція розбиття непорожньої множини на попарно неперетинні класи.

Теорема: Якщо на множині X задано відношення еквівалентності, то воно розбиває цю множину на попарно неперетинні класи і навпаки, якщо яке-небудь відношення, задане на множині, розбиває множину на класи, то це відношення є відношенням еквівалентності.

Відношення порядку

Поняття про порядок розміщення об'єктів у множинах використовується досить часто. Говорять про порядок розміщення будинків на вулиці міст, порядок прізвищ у списку учнів класу, порядок чисел в натуральному ряді, цифр у записі чисел, слів у реченні. Що ж таке порядок?

Означення; Відношення R на множині X називають відношенням строгого порядку, якщо воно транзитивне і асиметричне і відношенням нестрогого порядку, якщо воно транзитивне і антисиметричне.

7. Поняття відповідності між множинами. Способи задання відповідностей. Відповідність, обернена даній. Взаємно однозначна відповідність. Рівнопотужні множини.

Означення: Бінарною відповідністю визначеною у множинах А і В, називається підмножина декартового добутку АхВ.

Відповідність прийнято позначати літерами латинського алфавіту. Відповідність можна задавати за допомогою переліку всіх її елементів, тобто пар, зв’язаних цією відповідністю. Одним із способів задання відповідностей є характеристичний спосіб, який полягає в тому, що вказується характеристична властивість всіх пар елементів відповідності. Зручно також відповідності зображати за допомогою графівОзначення: Відповідністю, оберненою до відповідності RcAxB, називають таку відповідність, яка є підмножиною ВхА і складається з тих і тільки тих пар (у,х), для яких (х,у)єR.

Взаємно однозначні відповідності:

Розглянемо відповідність між множинами Х={2,4,6,8} I Y{1,2,3,4}. Нехай ця відповідність задана так, що кожному елементу множини Х ставиться у відповідність один елемент множини Y і навпаки, кожному елементу з множини Y ставиться у відповідність один елемент множини Х.

Таку відповідність називають взаємно однозначною відповідністю.

Означення: Множини Х та Y називаються рівно потужними, якщо між ними існує взаємно однозначна відповідність.

Відношення рівнопотужності:

воно рефлексивне: Х~Хвоно симетричне: якщо Х~Y, то Y~Х

воно транзитивне: якщо Х~Y і Y~Z, то X~Z

Якщо відношення рівнопотужності множин рефлексивне, симетричне і транзитивне, то воно є відношенням еквівалентності.