31Нерівності, що містять змінну і їх розв'язування

Означення . Нехай f(x) і g(x) - два вирази із змінною х і областю визначення X, Тод нерівності виду f(x)>g(x) або f(x)<g(x) називаються нерівностями з однією змінною.

Розв'язати нерівність означає знайти множину її розв'язків

Означення. Дві нерівності з однією змінною називають рівносильними на множішОС~якщо їх множини розв'язків, що належать множині X, збігаються.

Мають місце такі теореми про рівносильні нерівності.

Теорема 1. Нехай нерівність f(x)>g(x) задано на множині X і h(x) - вираз визначений на цій же множині, Тоді нерівності f(x)>g(x) і f(x)+h(x)>g(x)+h(x) рівносильні на множині X.

З цієї теореми випливають такі наслідки,

Наслідок 1. Якщо до обох частин нерівності f(x)>g(x) додати одне й те ж саме дійсне число d, то отримаємо нерівність f(x)+ d >g(x)+ d рівносильну даній.

Наслідок 2. Якщо з однієї частини нерівності із змінною в іншу частину перенести доданок, змінивши його знак на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

Теорема 2.Нехай нерівність f(x)>g(x) задана на множині X і h(x) вираз, визначений і додатний на цій множині. Тоді нерівності f(x)>g(x) і f(x)*h (x)>g(x)* h(x) рівносильні на множині X.

З теореми 2 випливає наслідок.

Наслідок., Якщо обидві частини нерівності з однією змінною помножити на додатне число, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

Теорема 3. Hexaй нерівність f(x)>g(x) задана на множині X і h(x) вираз, визначений і від'ємний на цій множині, то нерівності f(x)>g(x) і f(x)*h(-x)<g(x)*h(-x) рівносильні на множині А'".

З теореми 3 випливає наслідок.

Наслідок., Якщо обидві частини нерівності помножити на від'ємне число і змінити при цьому знак нерівності, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

32 Числові функції

Функція одна із найважливіших понять математики.

0значення. Відношення між елементами множини X і множини Y, у якому кожному елементу множини X відповідає один і тільки один елемент множини Y, називається функцією.

Множина X називається областю визначення функції, множина Y множиною значень функції. Дане означення вказує на те, що графік функції не містить пар з однаковими першими компонентами.

Одним із способів задання функцтї є характеристичний, який ще називають словесним або описовим. Описується функціональна залежність між елементами двох множин.

Числові функції наочно представляють за допомогою графіків на координатній площині.

1.Функції можна задати за допомогою графіка.

Функції можна задавати за допомогою_та6лиці

Означення. Функція y=f(x) називається зростаючою на деякому проміжку X, якщо для будь-якого х1 і х2, цього проміжку виконується умова Х1< x₂=>f(x₁)<f(x₂).

Означення . Функція y=f(x) називається спадною на будь-якому проміжку X,

якщо для будь-яких х1 і х₂ з цього проміжку виконується умова х1< x2'=>f(x1)>f(x₂).

35)Лінійна функція

Означення. Лінійною функцією називається функція, яку можна задати за допомогою формули виду у=кх+Ь, де х - незалежна змінна, а к і b ~ задані дійсні числа.

Якщо k=0, то у=Ь і таку функцію називають сталою.

Лінійна функція має ряд властивостей:

1. Областю визначення і областю значень функції є всі дійсні числа і графіком ,ії є пряма.

2.Якщо к>0, то функція у=кх+Ь зростаюча і при к<0 – спадна