28Поняття числових рівностей. Основні властивості істинних числових рівностей

Означення. Два числові вирази, з'єднані знаком "дорівнює" називаються числовою рівністю.

Нехай а і b два числові вирази. Речення а=Ь числова рівність. Наприклад, 3+2 і 4-1 два числові вирази. 3+2=4-1 числова рівність хибна. Якщо сполучимо знаком рівності 14:2 і 5+2, отримаємо істинну числову рівність 14:2=5+2. Отже, рівність -це істинне чи хибне висловлення. Якщо числові значення виразів у лівій і правій частині істинної числової рівності співпадають, то отримаємо істинну числову рівність

Властивості рівностей

1.Якщо до обох частин істинної числової рівності а=Ь додати один і той самий числовий вираз с, шо має смисл, то отримаємо істинну числову рівність. a=b—>a+c=b+c.

2. Якою обидві частини: істинної числової рівності а=Ь помножити на один і той самий числовий вираз с, що має смисл, то отримаємо істинну числову рівність. а=Ь =>

29Поняття числових нерівностей. Основні властивості істинних числових нерівностей

Означення. Два числові вирази, з'єднані знаками > ("більше") або < ("менше"), називають числовою нерівністю. Наприклад, 6-4>5, 2:2+6<10 , 7-2>3-1 - це все нерівності, причому перша з них хибна, а друга і третя істинні. Числові рівності або нерівності не мають смислу, якщо в одній із його частин є вирази, в яких міститься операція ділення на 0.

Властивості нерівностей

1. Якщо до обох частин істинної числової нерівності додати один і той самий числовий вираз, що має смисл, то отримаємо істинну числову нерівність. а>Ь=> а+с > Ь+с

2.Якщо обидві частини істинної числової нерівності а>Ь помножити на один і той же додатний числовий вираз, то отримаємо істинну числову нерівність. ас > bс.

3. Якщо обидві частини істинної числової нерівності а>Ь помножити на від'ємний числовий вираз і поміняти при цьому знак нерівності на протилежний, то отримаємо істинну числову нерівність ас<Ьс.

30 Рівняння з однією змінною

Означення Нехай f(x) і g(x) - два вирази із змінною х і областю визначення X. Висловлювальна форма виду f(x)=g(x) називається рівнянням з однією змінною.

Значення змінної х, яке перетворює рівняння в істинну числову рівність, називається коренем рівняння з однією змінною. Розв'язати рівняння - означає знайти множин)' його коренів.

Означення.^ Два рівняння f1(x)=g1(x) і f₂(x)=g₂(x) називаються рівносильними, якщо множини їх коренів співпадають.

Теорема 1. Нехай рівняння f(x)=g(x) задано на множині X і h(x) - вираз, який визначений на цій же множині. Тоді рівняння f(x)=g(x)(l)і\ f(x)+h(x)=g(x)+h(x)(2) рівносильні.

.

З цієї теореми випливають такі наслідки.

1.Якщо до обох частин рівняння додати одне і те ж число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

2.Якщо який-небудь доданок (числовий вираз чи вираз із змінною) перенести з однієї частини рівняння в іншу,, замінивши при цьому знак доданка на протилежний, то отримаємо рівняння., рівносильне даному.

Теорема_2 Нехай рівняння f(x)~g(x) задано на множиш X і h(x) вираз, який визначений на цій же множині, такий, що не перетворюється в нуль ні при яких значеннях хX. Тоді рівняння f(x)=g(x) \f(x)-h(x)^:=g(x -h(x) рівносильні.

Іншими словами: якщо обидві частини рівняння з областю визначення X помножити на один і той же вираз, який визначений на множині X і не перетворюється в нуль на ній, то отримаємо нове рівняння, рівносильне даному.

Наслідок, який випливає з теореми 2. -Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне і те ж число, відмінне від нуля, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.