3. Определение локального модуля упругости с помощью силовой спектроскопии

Для расчета модуля упругости мы использовали модель Герца, которая описывает контакт двух упругих тел. При индентировании исследуемого образца, поведение материала рассматривается как линейно упругое. Это означает, что материал мгновенно принимает свою первоначальную форму после прекращения действия внешней силы, а также то, что соотношения между приложенным напряжением (напряжение равно силе, делённой на площадь приложения силы) и результирующей упругой деформацией образца, вызванной напряжением (упругая деформация равна отношению изменения размера образца после деформации к его первоначальному размеру) линейны. Это отношение известно как модуль Юнга – первичная мера жесткости материала – и измеряется в паскалях.

Для малых деформаций, при расчете модуля Юнга по модели Герца для линейно-упругих материалов, играет роль геометрия индентора и измеренная сила сопротивления образца [45]. Соотношение между глубиной деформации образца, и измеренной силой сопротивления принимает форму:

, (2.1)

где – коэффициент пропорциональности, зависящий от геометрии острия зонда.

Уравнения, связывающие силу сопротивления с глубиной внедрения для конуса и сферы, соответственно, определяются по формулам:

и , (2.2)

где – прикладываема нагрузка (сила сопротивления образца); – модуль Юнга; – коэффициент Пуассона, определяющий размер поперечного расширения, сопровождающееся осевым сжатием [46]; – половина угла острия консоли; – результирующая глубина внедрения индентора; – радиус закругления зонда (радиус сферы).

Контактный радиус ( ) изменяется с в соответствии с выражением:

(2.3)

Поскольку формализм Герца основан на теории линейной эластичности, возможно, определить величину напряжения и упругой деформации, которые удовлетворяют соотношению Гука. Понятие связи между одноосным сжатием и сферическим внедрением было впервые исследовано Тейбором (Tabor 1948, 1951) упруго-пластичных внедрений металлов и было в последствии расширено на другие классы материалов. Широко приняты определения напряжения при воздействии индентором (или среднего давления, σ*) и деформации (ε *), определяемые выражениями [45,46]:

, (2.4)

Множитель упругой деформации 0,2 был эмпирически установлен Тейбором (Tabor 1951) и расширен другими исследователями. Разделив напряжение на упругую деформацию с учетом уравнений (2.2) и (2.3) получим выражение для напряжения:

или (2.5)

Если в (2.5) заменить и их значениями из (2.4), то получим контактное уравнение для силы сопротивления с точки зрения контактного радиуса:

(2.6)

В 1974 году Терновским было получено уравнение жесткости материалов, выведенное для уменьшения модуля упругости с использованием полученных данных смещения нагрузки. Уравнение жесткости имеет вид:

(2.7)

где dF/dt – наклон смещения нагрузки; E_r – уменьшенный модуль материала; A– площадь контакта зонда с образцом.

Рассмотрим уравнение (2.2) для конуса. В упругом углублении, кривые подвода-отвода фактически совпадают, таким образом, в уравнении (2а) величины отклонения должны быть справедливы при всех . Дифференцируя (2а) по получим соотношение для наклона кривой смещения нагрузки [47].

(2.8)

Учитывая уравнение жесткости (2.7) преобразуем выражение (2.8).

(2.9)

где A — расчетная (или относительная) площадь контакта индентора с образцом.

Быличев и др. показали, что (2.9) также справедлива для цилиндрических и сферических инденторов. Фарр и соавторы показали, что (2.9) справедливо для всех инденторов с бесконечно дифференцируемым сечением. Для инденторов Берковича или Вискерова угол и соответствующая площадь равна:

(2.10)

где D_C — контактная глубина проникновения зонда в образец, определяется соотношением (рисунок):

(2.11)

Коэффициент второго члена в правой части выражения (11) может быть заменен на , как величина зависящая от геометрии индентора [48].

Рисунок 2.1 — Внедрение твердого конического зонда в линейно упругое твердое тело

Для расчета локального модуля упругости мы использовали формулу (2.2), связывающую силу сопротивления исследуемого образца и глубину внедрения для индентора сферической формы.