1.6. Раскрытие неопределенностей.
При определении пределов часто возникают ситуации, называемые неопределенностями. Мы рассмотрим неопределенности следующих видов
1)
– неопределенность “ноль делить на
ноль”.
2)
– неопределенность “бесконечность
делить на бесконечность”.
3)
–неопределенность “ноль умножить на
бесконечность”.
Нахождение пределов в этих случаях называется раскрытием неопределенностей.
Рассмотрим некоторые приемы раскрытия каждой неопределенности в отдельности.
Неопределенность
появляется при нахождении предела
отношения двух бесконечно малых функций
.
Пример 1.4
.
Здесь
=
4 – 10 + 6 = 0 и
=
0. Числитель и знаменатель дроби являются
бесконечно малыми при
,
т.е. имеет место неопределенность
.
Для раскрытия неопределенности в
рассматриваемом случае числитель и
знаменатель дроби разложим на множители
и сократим на величину
,
дающую 0 в числителе и знаменателе:
=
=
=
=
= –
.
Пример 1.5
Найти
предел:
.
Решение
Здесь
также имеем дело с неопределенностью
.
Для раскрытия этой неопределенности
умножим числитель и знаменатель дроби
на выражение
,
которое называется сопряженным выражению
,
тогда
=
=
=
=
=
=
=
.
Для раскрытия неопределенности в некоторых случаях могут быть полезны следующие определения и теоремы.
Определение 1.1. Пусть и две БМ при . Если
|
(1.1) |
,
то
БМ
и
называются эквивалентными. Эквивалентность
БМ
и
обозначается
.
Теорема 1.1. (Первый замечательный предел). Можно показать
[ ], что
|
(1.2) |
,
Предел
(1.2) называется первым замечательным
пределом. Из теоремы 1.1 и определения
1.1 следует, что
.
Приведем еще некоторые примеры
эквивалентных БМ при
0:
Таблица 1.1
1. |
sin ~ |
|
2. |
|
|
3. |
|
|
4. |
|
|
5. |
|
|
6. |
|
|
Теорема 1.2.
Предел отношения двух бесконечно малых величин равен пределу отношения бесконечно малых, эквивалентных данным.
Поясним,
что утверждает теорема. Пусть
и
две бесконечно малые функции. Известны
еще две БМ
и
,
причем
и
.
Тогда
.
Доказательство:
=
,
что и требовалось. доказать.
Каждый из пределов в рамках равен единице, т.к. это пределы отношений эквивалентных бесконечно малых.
Пример 1.6
Найти
.
Решение
Здесь
имеет место неопределенность
,
которая раскрывается
переходом к эквивалентным величинам: sin5x~5x, sin3x~3x, по теореме 1.2 получаем:
=
=
=
.
Неопределенность
появляется при нахождении предела
отношения двух бесконечно больших
.
Пример 1.7
Найти
.
Решение
Здесь
имеет место неопределенность
.
Отметим, что
самая большая степень, в которой
переменная
входит в числитель и знаменатель дроби.
Для раскрытия неопределенности вынесем
за скобки и в числителе и в знаменателе
и сократим. Получим
=
=
=
.
Отметим, что в данном примере высшая степень в числителе равна высшей степени в знаменателе. Предел равен отношению коэффициентов при высших степенях в числителе и знаменателе.
Пример 1.8
=
=
=
= 0.
Отметим, что в данном примере высшая степень в числителе меньше высшей степени в знаменателе. Предел равен нулю.
Пример 1.9
=
=
=
=
=
.
В данном примере высшая степень в числителе больше высшей степени в знаменателе. Предел равен бесконечности. В результате рассмотрения примеров 1.7, 1.8 и 1.9 сформулируем общее правило нахождения предела вида
=
=
Пример 1.10
.
Решение
Здесь
,
,
,
поэтому предел равен
:
.