Глава 2

Элементы векторной алгебры

2.1.Основные понятия

Скалярными называются величины, которые полностью определяются своей числовой ме­рой. Такими величинами являются объем тела, масса, темпера­тура и т.д. Для задания других физических величин, таких, как скорость, сила, уско­рение и так далее кроме их численных значений указывается также их направление в пространстве. Такие величи­ны называются векторными.

Вектором называется направленный прямо­линейный отрезок, т.е. отрезок имеющий определенную длину и определенное направление. Направление вектора определяется тем, что одна его конечная точка считается началом, а другая — концом. Если А – начало вектора, а В – его конец, то вектор обозначается символом или . Вектор называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается .

Длиной или модулем вектора называется длина отрез­ка АВ. Модуль вектора обозначается | |.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется ну­левым вектором (или нуль-вектором) и обозначается . Его направление не определено.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом. Единичный вектор, сонаправленный с дан­ным вектором , называется ортом вектора и обозначается . Следовательно, | | = 1. Очевидно, равные векторы имеют равные орты.

Векторы и , лежащие на параллельных прямых или на одной и той же прямой, называются коллинеарными (обозначаются || ). Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Векторы считаются равными, если они имеют одинаковые длины и одинаковые направления. Для обозначения равенства двух векторов пишут .

Таким образом, вектор не меняется при его параллельном переносе с сохранением длины и направления, следовательно, вектор не зависит от точки пространства, в которую помещено его начало. Начало вектора можно помещать в любую точку пространства. Поэтому говорят, что в векторной алгебре изуча­ют свободные векторы.

Три или большее количество векторов называются компланар­ными, если они параллельны одной и той же плоскости (в част­ности лежат в одной плоскости). Нулевой вектор считается ком­планарным любой системе компланарных между собой векторов.

2.2. Линейные операции над векторами

Линейными называют операции сложения, вычитания векторов и умножения вектора на число.

Пусть и ­- два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор . От точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : .

Рис. 2.1

Такое правило сложения векторов называется правилом треугольника. Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма (Рис. 2.2).

Рис. 2.2

На рисунке 2.3 показано сложение трех векторов , и .

Рис. 2.3

Под разностью векторов и понимается вектор . (Отметим, что – это обозначение вектора, противоположного вектору ).

Из этого определения разности векторов следует, что в параллелограмме, построенном на векторах и , одна направленная диагональ является суммой векторов и , а другая – разностью (Рис. 2.4).

Рис. 2.4

Произведением вектора на число называется вектор (или ), длина которого равна . Вектор коллинеарен вектору и имеет направление вектора , если и противоположное направление, если .

Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения:

1) если , то . Наоборот, если , то существует , такое что .

2) , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Рассмотренные операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными. Они обладают рядом свойств, известных из элементарной математики:

1)	;	5)	;
2)	;	6)	1 = ;
3)	;	7)	.
4)	;

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных опе­рациях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.