22.Неоднородные дифф. Уравнения второго порядка.

y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)

p(x),q(x),f(x) – данные функции.

Общее решение уравняние есть сумма любого если частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

y(x)=y+CC1y(x)+C2y2(x)

Участное=x^2*Qn(x)e^(alfa*x);

Коэффициент Qn находятся методом неопределенных коэффициентов, по правой части уравнения.

Решение..

23.Решение неоднородных дифф уравнений второго порядка с пост коэфф и правой частью вида f(x)=p{n}(x)*e^alfa*x.

Если Альфа не является корнем характеристического уравнения то частное решение уравнения следует искать в виду Yчаст=Qn(x)*e^(alfa*x)

Если Альфа совпадает с одним корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде: Yчастн=X*Qn(x)*e^(alfa*x);

Если число Альфа является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в форме:

Yчастн=X^2*Qn(x)*e^(alfa*x); Где Qn(X)- многочлен n-го порядка.

Qn(x) находится методом неопределенных коэффициентов по правой части уравнения.

Если правая часть равна Pn(x) и корни число 0, то выполняются теже правила, только без e^(alfa*x);

24.Решение линейных дифф уравнений второго порядка с пост. коэфф. и правой часть вида f(x)=P(x)e^(alfa*x)cosbeta(x)+Q(x)e^(alfa*x)sinBeta(x). Пусть правая часть уравнения имеет вид f(x)=P(x)e^(alfa*x)cosbeta(x)+Q(x)e^(alfa*x)sinBeta(x). а)Если комплескное чисо Z=Альфа+IBeta не является корнем характеристического уравнения k^2+pk+q=0 то частное решение следует искать по формуле Yчаст=U(x)e^(alfa*x)cosBeta(x)+V(x)e^(alfa*x)sinBeta(x).

б)Если комплексное число Z есть корень характеристического уравнения , то частное решение уравнения следует искать в виде Yчаст=X*( U(x)e^(alfa*x)cosBeta(x)+V(x)e^(alfa*x)sinBeta(x)).

где U(x) и V(x) – многочлены максимальной степени многочленов P(x) и Q(x)

25.Метод вариаций постоянных в решении дифф. уравнений. Рассмотрим метод на примере. y’’+4y=1/sin^2x правая часть является нестандартной. В таких случаях применяется метод вариаций постоянных.

Общее решение однородных уравнений. k^2+4=0; k^2=-4 lk1,2=+-2

Yодн=C1cos2x+C2sin2x

Метод вариаций постоянных состоит в том, что ищется общее решение ,заменив константы на фнкции С1 С2- функции т.е Yодн=C1cos2x+C2sin2x

y1(x)=cos2x y2(x)=sin2x.

26.Cистемы линейных однородных уравнений в случае вещественных корней.