17.Дифф уравнения допускающие понижение порядка.

Существует три типа уравнений.

18.Дифф уравнения второго порядка.Задачи Коши для диф уравнений второго порядка.

Пусть функция f(x, у, у') и ее частные производные и , непрерывны в некоторой области D пространства переменных (x, у, у'). Тогда для любой внутренней точки М0(х0, у0, у'0) этой области существует единственное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям.

F(x;y;y’’)=0

Найти решения дифф уравнения

Y’’=f(x,y,y’’) удовлетворяющее начальным условиям y(x0)=y0 y’(x0)=y1

Частным решением уравнения называется его общее решение y=fi(x,C1,C2) при конкретных значениях констант C1,C2.

19.Свойства линейных однородных дифференциальных уравнения второго порядка.

. y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x) где y

F(x)=0 Однородное линейное уравнение второго порядка.

Линейные уравнения обадают рядом свойств.

Теорема. Если функции y=y1(x), y=y2(x) являются решениями однородного линейного дифф уравнения второго порядка, то и любая их комбинация y=C1*y1(x)+C2*y2(x) также является решением однородного линейного дифф уравнения второго порядка.

Доказательство…

Y=C1y1(x)+C2y2(x) подставим в левую часть раскрытое уравнение второго порядка получаем

C1y1’’(x)+C2y2’’(x)+p(x)(C1y1’(x)+C2y2’(x)+q(x)(C1y1(x)+C2y2(x))=C1(y1’’(x)+p(x)y1’(x)+q(x)y1(x))+C2(y’’(x)+p(x)y2’+q(x)y(x)) т.к y1=решение Это означает что y=C1y1(x)+C2y2(x) является решением для любых констант С1 С2.

Т.е получаем что множество решений однородного линейного уравнения ялвяется пространством и значит в нем должен существовать базис.

Линейно независимые функции. Если C1y(x)+C2y2(x)=0 только при С1 и С2 =0 в противном случае называются линейно независимыми.

20.Линейные дифф уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

y’’+py’+qy=f(x) где p,q данные числа f(x) данная функция.

y’’+py’+qy=0;

Характеристическое уравнение.

k^2+pk+q=0 где к – переменная.

Теорема 1) Если число К – корень характеристического уравнения то y=e^(k*x) является решением

2)Если k1=Аlfa+i*Beta k2=Alfa+iBeta (beta!=0) это комплексные корни характеристического уравнения, то y1=e^(alfa*x)cosBeta(x) y2=e^(alfa*x)*sinAlfa(x) является решением однородного уравнения.

Доказательство. Возьмем y=e^(k1*x) где k1 – корень. y’ =k1e^(k1*x) y’’=k2e^(k2*x) подставим в левую часть соотношения получим k1^2*e^(k1*x)+pk1e^(k*x)+q*e^(k1*x)=e^(k1*x)(k1^2+pk+q)=0

y=e^(k1*x); является решением дифф уравнения.

21.Общий вид решений однородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами. y’’+py’+qy=0 p,q вещественные числа. Характеристическое уравнение. k^2+pk+q=0 Теорема 1. Если корни характеристического уравнения вещественные и различные, то общие решения уравнения имеет вид y=C1e^(k1*X)+C2*e^(k2*x); 2)Если корни характеристического уравнения вещественны и равны к1=к2 то общее решение имеет вид y=C1e^(k*x)+(C2*e^(k*x))*x 3)Если корни характеристического уравнения комплексные k1=Alfa+iBeta k2=Alfa+iBeta, то общее решение уравнения имеет вид y=C1*e^(alfa*x)*cosBeta(x)+C2*e^(Alfa*x)*sinBeta(x)=e^(alfa*x)(C1cosBeta(x)+C2sinBeta(x))