31.Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения II порядка.
Обыкн ДУ 2 порядка с пост.коэфф. имеет вид:
(1) y``+py`+qy=r(x) p,q принадл. R, r(x) – функция
Если r(x) =0, то
(2) y``+ py`+qy=0 – однор.лин.ДУ с пост.коэфф.
Ур-е
вида (3)
=0
– характерист.ур-е (1) и(2) Стр-ра общего
решения ур.(2) определяется корнями
квадр.ур-я. (3)
Возможны 3 случая
1.
кв.ур-е имеет разные корни α1
α2,
D>0
тогда общее решение:
y=C1
C1,
C2
прин.R
2. корни кв.ур. кратные, т.е. α1= α2=α ; D=0
y=
C1,
C2
прин.R
3. корни комплексно сопряженные : λ1= α-βi; λ2= α+βi;
y=
C1
C1,
C2
прин.R
32. Метод Эйлера нахождения общего решения олду II с постоянными коэффициентами.
Линейное
дифференциальное уравнение второго
порядка вида:
называется дифференциальным уравнением
Эйлера.
Простейший
одношаговый метод численного решения
задачи Коши — метод Эйлера. В методе
Эйлера величины
вычисляются по формуле:
:
y'
= f(x,
y),
y(a)
=
, x
∈
[a,
b],
= a + ih, h
= (b-a)/N, i = 0,1 , 2, ..., N,
y( )≈ ,
.
33.Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения II порядка.
Дифференциальное уравнение вида
y′′ + py′ + qy = f (x), (1) где p,q—константы, f (x)—заданная функция называется линейным неонородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Теорема (структура общего решения ЛНДУ).
Общее решение линейногоу неоднородного дифференциального уравнения ЛНДУ (1) есть сумма
y(x) = y *(x)+
(*)
некоторого частного
решения y *(x) неоднородного ДУ (1) и общего
решения
однородной части ДУ (1), т.е. решения для
ДУ вида
y′′ + py′ + qy = 0. (**)
Здесь
,
линейно независимые решения для ДУ
(**), а
,
—произвольные
постоянные.
35.Понятие ряда. Классификация рядов. Примеры.
Числовым рядом наз-ся бесконечная последовательность чисел, соединенная знаком сложения: а1+а2+…+ак +…=∑к=1∞ак.
Где а1,…,ак- члены числового ряда
Введем след. Обозначения: Sк = ∑к=1каi = а1+а2+…+ак - n-ая частичная сумма числового ряда: к=1, то Sк=а1,к=2, то Sк=а1+а2,…к: Sк = а1+а2+…+ак, т.е. видно, что частичная сумма образует числ. Последовательность.
Числ ряд наз сходящимся, и его сумма в этом случае будет равна S, если сущ-т конечные предел последовательности частичных сумм, котрый равен S: LimSk=S, k→∞. В противном случае числ ряд расходится.
36.Сходящиеся и расходящиеся ряды. Исследование сходимости рядов вида и .
Если
существует конечный предел S
последовательности частичных сумм
,
то ряд (1) называется сходящимся, а число
S ― суммой
ряда
и записывается этот факт как
.
Если
не существует или равен бесконечности, то ряд (1)
называется расходящимся.
Ряд
,
(2)
составленный
из членов геометрической прогрессии
со знаменателем q, называется
геометрическим рядом. Если |q| < 1, то
ряд (2) сходится и его сумма равна
;
если q ≥ 1, то ряд (2) расходится.
Д-во:
Ряд
,
называемый гармоническим рядом,
расходится.
Док-во.
Пусть
.
Тогда
Но
с другой стороны
.
Тогда
равенство
невозможно. Противоречие.
Обобщенный
гармонический ряд
сходится, если p > 1 и расходится, если
p ≤ 1.