1.Понятие функции нескольких переменных; ее область определения. Предел функции двух переменных в точке. Непрерывность функции двух переменных в точке. Примеры.

Ф-ю z=f(x,y) наз-ют ф-ей 2-ух переменных, x u y Наз-ют зависимыми перемен. Мн-во пар x и y при к!ых ф-ия имеет смысл образуе обл опред-я ф-ий 2-ух перемен. Ф-я z=f(x,y) наз-ся непрерывной в точке с коорд. ( ), если предел ф!ии f(x,y) при x и y равен значению ф-ии в точке (Xo,Y0), т.е. .

2.Частное приращение функции двух переменных. Частная производная функции нескольких переменных по одной из этих переменных. Примеры.

Зависит от приращ. Независимых перемен. z=f(x,y,z) . Частная произв. по одной из этих перемен. Например по х обознач-ся как Z`x и определяется как =

3.Полное приращение функции двух переменных. Дифференциал функции нескольких переменных. Формула для приближенных вычислений. Геометрический смысл дифференциала.

Полным приращением ф-ии 2-х переменных наз-ся разность

Полным диф ф-ии z=f(x,y) наз-ся главная часть полного приращ , линейная относит. и . du= dx+ dy+ dz. Ф-ла для приближ вычисл. В конкр. Точке Мо: .

4.Теоремы о дифференцировании сложной функции двух переменных.

Теорема.Если функция y=f(x) имеет обратную функцию x=g(y) и в точке х₀ производная f(x) не равна нулю, то обратная функция g(y) диффернцируема в точке у₀=f(x₀) и g(y₀)=1/f(x₀) или x_y=1/y_x.

Доказательство.

Пусть а=f(x₀). Тогда из дифференцируемости f(x) в х₀ следует, что приращение у= f(x₀+х) - f(x₀) можно представить в виде у=ах+ах=(а+а) х, где а=а(х)0 при х0. Так как а не равно нулю, то отсюда следует, что х0, когда у0. Имеем

g(y₀)= lim g(y+y)-g(y₀) = lim x =lim y^-1 = 1 .

^y0 y ^y0 y ^y0 x f(x₀)

Теорема.Если функция у=f(x) дифференцируема в точке t₀ и g(t₀)=x₀, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в t₀ и выполняется следующая формула: d f(g(t))/dt|_t=to=f(x₀)_*g(t₀) или y_t=y_x*x_t.

Доказательство.

Функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀, поэтому её приращение можно представить как y=f(x₀)+a(x)_*x. Где x0 при t0 поскольку функция g(t) непрерывна (следствие дифференцируемости) в точке t₀. Так как а(x)0 при x 0 и при t0. Поэтому

d f(g(t))|_t=to=lim (f(x₀)) x +a(x) x =

dt ^t0 t t

=f(x₀)g(t₀)+0_*g(t₀)= f(x₀)g(t₀).

5.Частные производные 2-го порядка.

Для ф-и 2-х переем-х сущ 4 части произв-х 2 порядка:

6.Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума функции нескольких переменных.

Точка М0 явл-ся т-ой локального минимума для ф-ции 2-х перемен-х, если для любой т. М из сколь угодно малой окр-ти точки Мо выполн-ся нерав-во f(Mo)<f(M)^min, f(Mo)>f(M)^max. Точки мах и мин ф-ии наз-ся точками экстремума этой ф-ии. Необх усл: Если ф-я z=f(x,y) в т. Мо(Xo,Yo) имеет экстремум, то либо все её частные произв-е 1-го порядка в этой т. =0, т.е. , , либо хотя бы одно из них не сущ-ет. достаточн. усл-е Пусть А= , B= ,C= , в критич точке и = АС-В^2. Тогда если 1. , то ф-ия имеет в т. Мо макс-ум. 2. . , то мин-ум.3. , то в т. Мо экстремума нет.4. , требуются исслед-я.

7.Понятие неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов.

Таблица инт-ов. Если на ф-ю y=F(x) подейст-ть оператором диференц-я, то будет найдена 1-я произв. ф-ии. Однако можно произвести обр-ю процедуру с помощью интегрир-я. Эта процедура обзнач-ся символом неопр. Инт-ла , где f(x) поинт. ф-я, f(x)dx подинт. выраж. Для ф-ии y=f(x), ф-я F(x) наз!ся первообр., если F`(x)=f(x). Для одной ф-ии может быть найдено мн-во первообр, к-е будут отлич-ся друг от др. произв. конст. Неопр. Инт. Ф-и f(x) восстан!ет всевозможн. первообр. для f(x).

8.Свойства неопределенного интеграла.

1. (f(х)dх)'= f(х)

2. df(х)dх)'=f(х)dх

3. dF(х)=F(х)+С

4.kf(х)dх=kf(х)dх, k0.

5.(f(х)g(х))dх= f(х)dхg(х))

9.Метод замены переменной, метод поднесения под знак дифференциала. Примеры.

∫f(x)dx, x  D

Пусть x = φ(t), t  T, φ(t) – дифференцируема на T и имеет обратную функцию

Докажем, что ∫ f(x)dx = ∫f(φ(t)) • φ’(t)dt, т. е. докажем, что ∫f(x)dx – первообразная f(φ(t))•φ’(t)

(∫f(x)dx)_t’(по правилу дифференцирования сложной функции) = (∫f(x)dx)_x’ • x’_t = f(x)•φ’(t) = f(φ(t))•φ’(t)

∫ f(x)dx = ∫f(φ(t)) • φ’(t)dt – формула замены переменной в неопределенном интеграле

10.Метод интегрирования по частям. Примеры.

Пусть ф-я u и v, а также их произв-е явл-ся дифференц-ми ф-ми, тогда .

Пусть u = u(x), v = v(x) – дифференцируемы на D

d(u•v) = du•v + u•dv  ∫ d(u•v) = ∫du•v + ∫u•dv  u•v = ∫v•du + ∫u•dv 

∫u•dv = u•v - ∫v•du – формула интегрирования по частям

Применение данной формулы:

1. P_n (x)•φ(x)dx; P_n (x) – многочлен n-ой степени

а) φ(x) = sin ax u = P_n (x); dv = φ(x)dx

cos ax

e^Kx

b) φ(x) = обратные тригонометрические функции u = φ(x); dv = P_n (x)dx

log_ax

2. e^kx•sin ax dx в этом случае любой из множителей можно принять

e^kx•cos ax dx за u

11.Двукратное интегрирование по частям на примере Найти неопределенный интеграл

Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к себе:

В результате двукратного интегрирования по частям интеграл свёлся к самому себе. Приравниваем начало и концовку решения:

Переносим   в левую часть со сменой знака и выражаем наш интеграл:

Теперь вернемся к началу примера, а точнее – к интегрированию по частям:

За   мы обозначили экспоненту.

за   можно обозначить и тригонометрическую функцию. Но, в рассмотренном примере это менее рационально, поскольку появятся дроби.