Дифференцирование вектора в подвижных координатах (Формула Бура)

Пусть вектор представлен в подвижной системы координат в виде (рис.1.8):

.

Возьмём производную вектора по времени, учитывая, что орты подвижной системы координат изменяются по направлению:

.

Первые три слагаемые этой формулы дают нам относительную производную, обозначаемую как:

.

Производная от единичного вектора — т. е. скорость конца этого вектора равна

.

Учитывая данное равенство, последние три слагаемых можно преобразовать следующим образом

.

Окончательно производная вектора по будет записываться соотношением:

,

где: — относительная (локальная) производная, в которой дифференцируются только координаты; — вектор угловой скорости подвижной системы координат.

Данная формула называется формулой Бура.

Теорема сложения скоростей

Абсолютная скорость точки при составном движении равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

Пусть тело, с которой связана подвижная система координат, совершает произвольное движение относительно неподвижной системы координат. Это движение может быть рассмотрено как поступательное движение вместе с началом подвижной системой координат и сферическое относительно этого начала. Из векторного треугольника получаем

.

Вычислив проекции этого векторного равенства на оси неподвижной системы координат, получим уравнения движения точки М.

Относительное движение будет характеризоваться координатами точки в подвижной системе координат:

.

Вычисляя производную вектора по времени с помощью формулы Бура, получим:

.

Сумма слагаемых, стоящих в скобке, даёт скорость точки твёрдого тела, с которым "сцеплена" подвижная система координат, совпадающей с исследуемой точкой в данный момент времени. Эту скорость называют переносной

.

Относительная производная даёт относительную скорость

.

Сложение ускорений в составном движении

Абсолютное ускорение точки при непоступательном переносном движении равно векторной сумме трех составляющих ускорений — переносного, относительного и ускорения Кориолиса.

По определению ускорение есть производная от скорости по времени

.

Для вычисления производной от относительной скорости применим формулу Бура:

.

Возьмём производную от переносной скорости по времени:

В результате имеем соотношение

.

Обозначим сумму первых трёх слагаемых через . Это ускорение точки подвижной системы координат (переносного тела, участвующего в поступательном и сферическом движении), совпадающей в данный момент времени с исследуемой точкой, т. е. — переносное ускорение:

.

Ускорение в относительном движении находится как относительная производная от относительной скорости:

.

Последнее слагаемое основной формулы называется ускорением Кориолиса или поворотным ускорением:

.

Окончательно абсолютное ускорение можно определить как результат сложения переносного, относительного и кориолисова ускорений:

.

Ускорение Кориолиса появляется по следующим причинам:

• из-за изменения переносной скорости в относительном движении (рис.1.9 а),

• из-за изменения относительной скорости в переносном движении (рис.1.9 б).

.

Рис. 1. 9. Причины возникновения ускорение Кориолиса

Рассмотрим подробней алгоритм вычисления кориолисова ускорения. Из определения векторного произведения следует, что вектор ускорения Кориолиса направлен перпендикулярно векторам — сомножителям и причём вращение первого из них производимое по кратчайшему пути ко второму сомножителю должно наблюдаться с острия вектора-результата происходящим в направлении против часовой стрелки.

Модуль ускорения Кориолиса определяется по формуле:

и, следовательно, в следующих случаях:

	при переносном поступательном движении;
	при относительном покое;
	в том случае, когда угол между векторами относительной скорости и переносной угловой скорости равен 0 или 180 градусов.