Плоское движение

Из кинематики известно, что плоское движение твёрдого тела можно разложить на два простейших: поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса. Примем за полюс центр масс тела. Тогда кинематические уравнения плоского движения запишутся в виде:

Для изучения плоского движения твёрдого тела достаточно составить три дифференциальных уравнения, связывающие величины с действующими на тело внешними силами.

Поступательная часть движения определяется дифференциальным уравнением поступательного движения (теоремой о движении центра масс)

Третье уравнение плоского движения получим, применив теорему об изменении кинетического момента относительно подвижной оси, проходящей через центр масс

.

Так как кинетический момент твёрдого тела относительно оси можно определить по формуле то, подставляя его в теорему, получим

.

Таким образом, дифференциальные уравнения плоского движения твёрдого тела имеют вид

.

Сферическое движение твердого тела

Твердое тело с одной неподвижной точкой имеет три степени свободы. Классическими параметрами, определяющими положение этого тела в пространстве, являются три угла Эйлера: . Если известны как функции времени, то известно и движение твердого тела с одной неподвижной точкой (сферическое движение) (рис. 3.6).

Для составления дифференциальных уравнений сферического движения запишем теорему об изменении кинетического момента в дифференциальной форме

,

где — кинетический момент твердого тела, совершающего сферическое движение относительно неподвижной точки ;

— главный момент внешних сил относительно неподвижного центра .

Чтобы записать соответствующие формулы в наиболее простом виде возьмем в качестве координатных – подвижные главные оси инерции жестко связанные с телом. Тогда проекции кинетического момента на оси координат можно записать в виде

Уравнения движения (динамические уравнения Эйлера) в этом случае примут вид:

где – моменты инерции тела относительно его осей инерции в точке О;

– главные моменты внешних сил, приложенных к телу, относительно этих же осей.

К динамическим уравнениям Эйлера следует присоединить кинематические уравнения Эйлера:

которые выражают проекции вектора угловой скорости вращения твердого тела на оси подвижной системы координат, скрепленные с телом через углы Эйлера и их производные по времени.

Рис. 3. 6 Сферическое движение твердого тела.

Динамические и кинематические уравнения Эйлера образуют систему шести нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка; интегрирование этой системы представляет сложную математическую задачу. Для интегрирования этих уравнений при решении конкретных задач обычно используют те или иные приближенные математические методы.

Условия интегрируемости уравнений движения

Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, в трех случаях существует система дифференциальных уравнений, из которых углы Эйлера определяются в квадратурах, т. е. путем вычисления интегралов. Эти частные случаи называют условиями интегрируемости.

Случай Эйлера

Тело имеет произвольную форму, но закреплено в его центре масс, т. е. . Углы Эйлера выражаются в этом случае через специальные эллиптические функции.

Случай Лагранжа

Тело имеет ось симметрии, например . В силу симметрии и эллипсоид инерции для закрепленной точки будет эллипсоидом вращения. Закрепленная точка и центр масс расположены на оси симметрии. В этом случае могут быть указаны шесть независимых первых интегралов, из которых углы Эйлера вычисляются в квадратурах.

Случай Ковалевской

В этом случае . Закрепленная точка располагается на оси симметрии , а центр масс находится в экваториальной плоскости эллипсоида инерции для неподвижной точки тела.

Свободное движение твердого тела

Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. Движение этого тела можно разложить на переносное поступательное вместе с полюсом, в качестве которого обычно выбирают центр масс , и относительное движение вокруг центра масс (рис. 3.7).

Рис. 3. 7 Свободное движение твердого тела.

Для составления дифференциальных уравнений свободного движения применим теорему о движения центра масс

и теорему об изменении кинетического момента в относительном движении по отношению к центру масс

.

Совмещая оси подвижной системы координат с главными осями инерции и записывая данные теоремы в проекциях на оси подвижной и неподвижной системы, получим шесть дифференциальных уравнений движения свободного твердого тела: