Скорость точки при координатном задании движения.

Координаты точки М одновременно являются и координатами её радиус-вектора. Поэтому координатное задание движения точки эквивалентно заданию движения её векторным способом. Разложим вектор скорости точки и её радиус-вектор в направлении координатных осей:

.

Согласно определению, данному выше, вектор скорости равен производной от радиус-вектора движущейся точки по времени

.

Сравнивая эту формулу с предыдущими соотношениями, убеждаемся, что проекция скорости на какую-либо ось равна производной от соответствующей координаты по времени

В силу ортогональности составляющих вектора скорости, легко определить её модуль и направляющие косинусы

Скорость точки при естественном задании движения.

При использовании естественного способа задания движения точки её положение характеризуется дуговой координатой . Положение точки в этом случае представляется радиус вектором . Тогда скорость точки можно определить следующим образом (рис. 1.3):

,

где — проекция вектора скорости на единичный вектор касательной к траектории .

Следовательно, вектор скорости направлен по касательной к траектории.

Ускорение точки.

При изучении движения необходимо знать, как быстро меняется скорость по величине и направлению. Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости, называется ускорением.

Ускорение точки при векторном задании движения.

Пусть за время скорость изменилась на величину (рис.1.4). Тогда средним за это время ускорением имеет смысл назвать величину . Предел этого отношения при характеризует мгновенную скорость изменения скорости, т. е. ускорение

.

Таким образом, ускорение равно производной по времени от вектора скорости.

Рис. 1. 4. Ускорение точки

Ускорение точки при координатном способе задания движения

В том случае заданы координаты как функции от времени

Так как скорость можно разложить на составляющие вдоль координатных осей, то после дифференцирования по времени получим:

Модуль вектора ускорения и его направляющие косинусы можно вычислить по формулам:

Ускорение точки при естественном способе задания движения

Известна зависимость дуговой координаты S от времени . Скорость точки определяется формулой:

.

Найдём ускорение, продифференцировав это соотношение по времени. Учтём при этом, что единичный вектор касательной меняет направление при движении точки, и он может быть рассмотрен как сложная векторная функция . Тогда

где — называется касательным (тангенциальным) ускорением, — называется нормальным ускорением.

Т. к. , модуль ускорения можно найти по теореме Пифагора:

Определение проекций ускорения на естественные оси при координатном способе задания движения

Из изложенного выше следует, что вектор ускорения располагается в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории. Проекции вектора ускорения на естественные оси равны:

.

Касательное ускорение можно определить следующим образом. Представим единичный вектор касательной в виде . Тогда

Кроме того, касательное ускорение можно определить, продифференцировав по времени выражение , если движение задано координатным способом.

Полное ускорение определяется формулой: .

Нормальная составляющая найдётся из формулы: , а радиус кривизны: .