Динамика относительного движения точки

Рассмотрим движение материальной точки под действием равнодействующей силы . Выберем две системы отсчета (рис. 3. 1): подвижную и неподвижную . Известно, что основной закон динамики в абсолютном движении, т.е. относительно неподвижной системы имеет вид: .

Рис. 3. 1 Сложное движение точки.

Из кинематики известно, что абсолютное ускорение можно вычислить по теореме Кориолиса:

,

где — переносное ускорение; — ускорение Кориолиса; , — относительная скорость и относительное ускорение.

Подставляя эти соотношения в основной закон динамики, получим

или .

Назовём дополнительные слагаемые в правой части уравнения соответственно переносной и кориолисовой силами инерции. Основное уравнение динамики относительного движения материальной точки примет вид

Система отсчёта, в которой основной закон движения записывается в данной форме, называется неинерционной.

Принцип относительности Галилея. Относительный покой.

При переносном поступательном движении , и, следовательно . В этом случае основное уравнение динамики в относительном движении будет иметь вид

Если подвижная система координат движется поступательно, равномерно и прямолинейно, то , , и силы инерции равны нулю. Закон относительного движения по форме записи не будет отличаться от закона абсолютного движения точки

Такая система отсчёта называется инерциальной.

Отсюда следует принцип относительности классической механики сформулированный Галилеем:

никакими механическими экспериментами нельзя обнаружить, находится ли данная система отсчёта в покое или совершает поступательное, равномерное и прямолинейное движение.

Если точка находится в покое по отношению к подвижной системе отсчёта, то и , следовательно . Получаем уравнение относительного покоя

.

Для относительного покоя необходимо и достаточно, чтобы силы, действующие на точку, уравновешивались переносной силой инерции.

Сила веса и сила тяжести.

Найдем условия относительного равновесия материальной точки на поверхности Земли, принимая во внимание ее вращение с постоянной угловой скоростью

.

Рис. 3. 2 Относительное равновесие точки

На эту точку действуют: сила тяготения (рис. 3. 2), перпендикулярная поверхности геоида, форма которого близка к сфере, поэтому можно считать силу направленной к центру Земли; переносная сила инерции , а также реакция опорной поверхности . В соответствие с условием относительного равновесия, получим

.

где — центробежная сила инерции,

— сила тяжести.

Таким образом, вес точки равный будет определяться выражением , то есть он является равнодействующей двух сил: тяготения и центробежной силой инерции.

Оценим, насколько вес точки отличается от величины силы тяготения. Обозначим геоцентрическую широту, т.е. угол между осью и плоскостью экватора через , а географическую широту, т.е. угол между осью и той же плоскостью, через . Проектируя уравнение на оси и

и учитывая, что , получим систему двух уравнений относительно и

Учитывая, что угол очень мал, решение первого уравнения данной системы можно представить в виде

а выражение для величины будет иметь следующий вид

Так как вес тела (материальной точки) должен быть направлен по нормали к поверхности, то угол , задающий ориентацию внешней нормали, определяет степень отклонения реальной поверхности Земли от идеальной сферы. Как уже отмечалось, Земля имеет форму геоида, который в первом приближении заменяется близким к нему однородным эллипсоидом вращения с полуосями: большой (экваториальный радиус) и малой (полярный радиус) . Поэтому при изучении высокоточных задач: движение искусственных спутников, баллистических ракет, приливных течений и т.д. необходимо учитывать несферичность Земли.

Поскольку отличие полярного радиуса Земли от экваториального незначительно, и составляет всего , то Землю в достаточно близком приближении можно считать равновеликой по объему и массе сферой радиуса . Тогда, согласно всемирному закону тяготения Ньютона, сила тяжести будет равна

,

где — гравитационная постоянная.

Подставляя числовые значения констант, найдем величину ускорения свободного падения для не вращающейся сферической Земли, а также выражение для угла

.

Пренебрегая величиной в выражении , задающем ускорение свободного падения , с учетом вращения Земли, получим

При решении задач динамики составного движения обычно считают Землю сферой радиуса , на которой ускорение свободного падения определяется формулой .