Пара сил. Момент пары
Две равные по величине и противоположно направленные силы образуют пару сил, если линии их действия не совпадают (рис.2.17).
Пара сил характеризуется плоскостью действия, направлением вращательного действия, величиной момента пары.
Рис.2.17 Пара сил, момент пары
С
илы
пары не образуют уравновешенную систему
сил, хотя геометрическая сумма сил пары
равна нулю.
Сумма моментов сил, составляющих пару, не зависит от выбора центра и равна произведению силы пары на плечо пары.
Докажем эту теорему: пусть в плоскости
"П" действует пара сил (
).
Определим вектор-момент пары, как сумму
моментов каждой из сил, относительно
одного и того же центра О, выбранного
произвольно. Учтем, что силы пары
противоположны по направлению
.
Радиусы- векторы точек приложения сил
пары относительно центра
связаны очевидным соотношением
или 
Полученный вектор является моментом пары. Его модуль равен произведению силы пары на расстояние между линиями действия сил пары (см. рис.), называемое плечом пары
Свойства пар сил. Сложение пар сил.
Свойства пар сил определяются рядом теорем, которые приводятся без доказательств:
Две пары эквивалентны, если их векторные моменты равны по величине и одинаково направлены.
Действие пары на тело не изменится, если ее перенести в плоскости действия на любое место.
Действие пары на тело не изменится, если ее перенести из плоскости действия в параллельную ей плоскость.
Действие пары на тело не изменится, если увеличить (уменьшить) величину силы пары, одновременно уменьшая (увеличивая) во столько же раз плечо пары.
Вывод: векторный момент пары сил, действующей на твердое тело, есть свободный вектор, т. е. его можно приложить в любой точке твердого тела.
Рассмотрим сложение пар, произвольно расположенных в пространстве. Докажем теорему:
Система пар, произвольно расположенных в пространстве, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.
Возьмем две пары (
)
и (
),
расположенные на пересекающихся под
произвольным углом плоскостях. Плечи
пар примем равными соответственно
и
.
На линии пересечения плоскостей отметим
произвольный отрезок АВ и приведем
каждую из слагаемых пар к плечу АВ.
Произведя сложение соответствующих
сил (см. рис.)
с
и
с
,
получим новую пару (
),
момент которой будет равен
Рис.2.18 Равнодействующая пар сил
Систему пар сил, действующих на тело, можно, в соответствии с только что доказанной теоремой, заменить одной парой, равной сумме векторов моментов слагаемых пар. Следовательно, равновесие системы пар возможно только при выполнении условия
Проецируя приведенное векторное условие равновесия пар на любые три оси, не лежащие в одной плоскости и не параллельные друг другу, получим скалярные уравнения равновесия системы пар
-
,
,
Произвольная пространственная система сил Лемма о параллельном переносе силы
Силу можно переносить параллельно самой себе в любую точку твёрдого тела, добавляя при этом пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы относительно новой точки приложения силы.
Доказательство: Пусть на тело действует
сила
,
приложенная к некоторой точке А тела.
В качестве центра приведения выберем
произвольную точку 0 и приложим к ней
уравновешенную систему двух сил {
},
линии действия которых параллельны
силе
.
Рис.2.19 Лемма Пуансо
Каждую из этих сил возьмём равной по
величине исходной силе
.
Очевидно, что полученная система сил
эквивалентна исходной, причём силы
и
образуют пару сил с моментом
Метод приведения силы, рассмотренный в лемме, был предложен французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 — 1859) и называется методом Пуансо.