Раздел VI. Интегральное исчисление функций одной переменной

1. Неопределенный интеграл

1.1.Первообразная и неопределенный интеграл

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на отрезке [a;b], если на этом отрезке f (x)= F(x).

Примеры. 1)Поскольку =х³ при любом х, то функция – первообразная функции х³ на всей числовой прямой.

2)Поскольку =sin3х при любом х, то функция – первообразная функции sin3х на всей числовой прямой.

3)Поскольку = при х>0, то функция lnx – первообразная функции при х>0. Поскольку = при х<0, то функция ln(–x) – первообразная функции при х<0. Отсюда получаем, что при всех х0 функция lnx– первообразная функции .

Теорема 1. Если функция f(x) имеет на отрезке [a;b] первообразную F(x), то она имеет на этом отрезке бесконечно много первообразных, причем любую из них можно записать в виде F(x)+С, где С – произвольная константа.

Доказательство. Поскольку (F(x)+С)=F(x)=f(x), то любая функция вида F(x)+С – первообразная функции f(x). С другой стороны, если какая-нибудь функция G(x) – первообразная функции f(x), то F(x)=G(x) на отрезке [a;b]. А тогда эти функции отличаются на константу: G(x)=F(x)+С. Теорема доказана.

Определение 2. Множество всех первообразных функции f(x) на данном отрезке называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается f(x)dx.

Если F(x) – одна из первообразных функции f(x), то пишут f(x)dx = F(x)+С.

Из определения сразу получаются два свойства неопределенного интеграла.

Теорема 2. d(f(x)dx)= f(x)dx.

Доказательство. Пусть f(x)dx = F(x)+С. Тогда d(f(x)dx)= d(F(x)+С)= F(x)dx= f(x)dx, ч.т.д.

Теорема 3. dF(x) = F(x)+С.

Доказательство. dF(x)=F(x)dx. Поскольку(F(x)+С)= F(x), то dF(x)= F(x)+С, ч.т.д.

1.2. Таблица неопределенных интегралов.

Свойство линейности

Используя таблицу производных, составим следующую таблицу неопределенных интегралов.

1. =х+С	2. = +С, k –1
3. = lnx+С	4. = +C
5. = +C	6. = +C
7. = +C	8. = –cosх+С
9. = sinх+С	10. =tgx+C
11. = –ctgx+C	12. = +C
13. =chx+C	14. =shx+C
15. =thx+C	16. = –cthx+C

Примеры. 1) = . Используем формулу (2) для k= – : = +С= +С.

2) Вычислим . Используем формулу (4) для а=4: = +C.

3) Вычислим . Используем формулу (5) для а=4: = +C = +С.

4) Вычислим . Используем формулу (6) для а= : = +C.

5) Вычислим . Используем формулу (7) для а= : = +C. 

Следующее свойство неопределенного интеграла позволяет вычислять интегралы от линейных комбинаций табличных функций.

Свойство линейности. Если ,  – числа, f(x) и g(x) – функции, имеющие первообразные, то (f(x)+g(x))dx= f(x)dx+g(x)dx. Чтобы убедиться в справедливости этого равенства, достаточно продифференцировать правую часть.

Примеры. 1)Свойство линейности позволяет записать в виде + –5 =

+ –5 = lnx+ –5 +С= lnx +2 + +С.

2) = =

+ = + =tgx–ctgx+C.