12.2. Множественная регрессия

При исследовании зависимостей методами множественной (многофакторной) регрессии задача формулируется также, как и при использовании парной регрессии, только в этом случае требуется определить аналитическое выражение связи между результативным признаком и факторными признаками .

Выбор формы связи для множественной регрессии осложняется тем, что теоретически зависимость между признаками может быть выражена большим числом различных функций.

Поскольку уравнение регрессии строится главным образом для количественного выражения взаимосвязей, оно должно отражать реально сложившиеся между факторами связи с достаточной степенью точности, поэтому для определения типа исходного уравнения регрессии часто используется метод перебора различных уравнений и соответствующих им оценок соответствия фактическим данным по точности.

Практика построения многофакторных моделей связи показывает, что реально существующие зависимости между явлениями можно описать, используя следующие типы моделей:

линейная

степенная

показательная

параболическая

гиперболическая

Серьёзная сложность формирования уравнений множественной регрессии состоит в определении оптимального числа факторных признаков, а также в том, что почти все факторные признаки в реальных процессах и явлениях находятся в зависимости друг от друга.

Если аналитическая форма связи подобрана, выбраны все факторные признаки, то параметры многофакторного уравнения регрессии могут быть определены различными методами: графическим методом, методом наименьших квадратов и т.д.

12.3. Измерение тесноты связи

Проверка практической значимости построенных в корреляционно-регрессионном анализе математических моделей осуществляется посредством показателей тесноты связи между факторным и результативным признаками.

К простейшим показателям степени тесноты связи относят коэффициент корреляции знаков, предложенный немецким учёным Г.Фехнером. Этот показатель основан на оценке степени согласованности знаков (направлений) отклонений факторного и результативного признаков от их средних значений.

Коэффициент корреляции знаков определяется формулой

где - число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от их средних ; - число несовпадений знаков отклонений. Коэффициент Фехнера может принимать значение в пределах от -1 до +1. Если знаки большинства пар отклонений совпадут, то тогда показатель будет близок к 1, что свидетельствует о наличии прямой связи.

Более совершенным показателем степени тесноты связи является линейный коэффициент корреляции, впервые введённый английским математиком К.Пирсоном:

В этом показателе учитываются не только знаки отклонений индивидуальных значений признаков от средних, но и сами величины таких отклонений.

Между линейным коэффициентом и коэффициентом регрессии в уравнении линейной парной регрессии существует зависимость, определяемая формулой

где и - средние квадратические отклонения факторного и результативного признаков, соответственно.

Линейный коэффициент корреляции имеет большое значение при исследовании социально-экономических явлений и процессов, распределение которых близко к нормальному. Поэтому на практике часто анализ начинают с расчёта этого коэффициента. Линейный коэффициент корреляции может принимать значения в пределах от -1 до +1. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между признаками. Знак при коэффициенте корреляции указывает на направление связи – прямой зависимости соответствует знак плюс, а обратной – знак минус. Условие является необходимым и достаточным, чтобы признаки и были независимы. При этом условии соответствующие коэффициенты регрессии обращаются в нуль, а прямые регрессии по и по оказываются взаимно перпендикулярными в прямоугольной системе координат.

Линейный коэффициент корреляции достаточно точно оценивает степень тесноты связи лишь в случае наличия линейной зависимости между признаками. При наличии же криволинейной зависимости линейный коэффициент корреляции недооценивает степень тесноты связи и даже может быть равен нулю. В таких случаях зависимости между признаками применяют эмпирическое корреляционное отношение и теоретическое корреляционное отношение (индекс корреляции).

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по данным, получаемым в результате группировки

где - общая дисперсия результативного признака;

- межгрупповая дисперсия результативного признака;

- средняя внутригрупповых дисперсий результативного признака.

Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле

где - факторная дисперсия или дисперсия выравненных значений результативного признака (т.е. рассчитанных по уравнению регрессии)

- остаточная дисперсия, отображающая вариацию результативного признака от всех прочих, кроме , факторов

Соотношение между факторной и общей дисперсиями

называется индексом детерминации и характеризует часть общей вариации результативного признака , описываемую фактором в регрессионной модели. Корень квадратный из индекса детерминации определяет индекс корреляции .

Необходимо заметить, что правило сложения дисперсий в виде

выполняется всегда для определённой совокупности наблюдений. Заметим также, что по абсолютной величине линейный коэффициент корреляции равен индексу корреляции только при прямолинейной связи.

Представленные выше показатели тесноты связи, исчисленные по данным сравнительно небольшой статистической совокупности (при ), могут искажаться действием случайных причин. Это вызывает необходимость проверки их существенности.

Для оценки значимости коэффициента корреляции (или коэффициентов регрессии) применяется t –критерий Стьюдента. Вычисленное значение критерия

сравнивается с критическим , которое берётся из таблицы значений Стьюдента с учётом заданного уровня значимости и числа степеней свободы . Если величина , то величина коэффициента корреляции признаётся значимой.

Для оценки значимости индекса корреляции (или адекватности построенной регрессионной модели) применяется F-критерий Фишера. Фактическое значение критерия вычисляется по формуле

и сравнивается с критическим значением , которое определяется по таблице F-критерия с учётом принятого уровня значимости и числа степеней свободы и - число параметров уравнения регрессии). При величина индекса корреляции признаётся значимой.

В случаях, если изучаются совокупности достаточно большого объёма, применяют другие методы оценки значимости описанных выше показателей (например, пользуются таблицей интеграла вероятностей Лапласа).

В заключение настоящей темы следует подчеркнуть, что интерпретация моделей регрессии должна осуществляться методами той отрасли знаний, к которой относятся исследуемые явления и процессы. Но всякая интерпретация начинается со статистической оценки уравнения регрессии в целом и оценки значимости входящих в модель параметров.

При анализе адекватности уравнения регрессии описываемому процессу возможны следующие варианты:

1) построенная модель на основе её проверки по F-критерию в целом адекватна, и все коэффициенты регрессии значимы. Такая модель может быть использована для принятия решений и прогнозов;

2) модель по F-критерию адекватна, но часть коэффициентов регрессии незначима. В этом случае модель пригодна для принятия некоторых решений, но не для производства прогнозов;

3) модель по F-критерию адекватна, но все коэффициенты регрессии незначимы. Такая модель непригодна для принятия решений и осуществления прогнозов.

Тест 4

В качестве варианта ответа необходимо выбрать вариант, содержащий наиболее полный, правильный и точный ответ на вопрос.

№	Вопрос	Варианты ответа
1	В выборочном методе применяется наблюдение	1) основного массив 2) монографическое 3) сплошное 4) несплошное
2	Под выборочным методом в статистике понимается метод исследования, при котором	1) устанавливаются обобщающие показатели в выборке 2) способом случайного отбора единиц находятся характеристики генеральной совокупности 3) обобщающие показатели генеральной совокупности устанавливаются по некоторой её части на основе положений случайного отбора 4) обобщающие показатели общей совокупности устанавливаются по показателям основного массива единиц совокупности
3	Ошибку выборки составляют	1) объективно возникающие расхождения между средними значениями признака и индивидуальными значениями признака у единиц выборочной совокупности 2) объективно возникающие расхождения между обобщающими характеристиками выборки и генеральной совокупности 3) случайные отклонения индивидуальных признаков у единиц исследуемой совокупности 4) непреднамеренные ошибки исследователей
4	Средняя ошибка выборки при бесповторном отборе находится по формуле	1) 2) 3) 4)
5	Предельная ошибка выборки при повторном отборе находится по формуле	1) 2) 3) 4)
6	Дисперсия альтернативного признака, имеющего долю в изучаемой совокупности, равна	1) 2) 3) 4)
7	Коэффициент доверия определяется	1) произвольным образом, независимо от требований к выборочному исследованию 2) в зависимости от средней ошибки выборки 3) исходя из заданной доверительной вероятности 4) из таблиц степенных функций
8	Необходимая численность выборки определяется с учётом требований	1) коэффициента доверия и среднего значения признака в выборочной совокупности 2) доверительной вероятности и предельной ошибки выборки 3) среднего значения и дисперсии признака в выборочной совокупности 4) доли выборки и коэффициента доверия
9	Способ поправочных коэффициентов применяется в случаях, когда	1) показатели выборочной совокупности распространяются на генеральную совокупность с учётом предельной ошибки выборки 2) поправочные коэффициенты неизвестны 3) предельная ошибка выборки неизвестна 4) целью выборочного метода является проверка или уточнение результатов сплошного наблюдения
10	Качественно факторные связи в статистике разделяют на	1) непосредственные и опосредованные 2) аналитические и синтетические 3) функциональные и корреляционные 4) санкционированные и запрещенные
11	Корреляционные связи – это такие связи, когда	1) определенному изменению факторных признаков соответствует строго определённое изменение результативного признака 2) при одном и том же значении факторных признаков значения результативного признака могут быть различны 3) результативный признак связан с одним факторным признаком 4) результативный признак связан с несколькими факторными признаками
12	Аналитическое выражение связи определяется с помощью	1) регрессионного анализа 2) корреляционного анализа 3) метода группировок 4) выборочного метода
13	По направлению связи бывают	1) слабые 2) умеренные 3) обратные 4) прямолинейные
14	По аналитическому выражению связи бывают	1) слабые 2) умеренные 3) обратные 4) прямолинейные
15	Оценка значимости параметров модели регрессии осуществляется на основе	1) коэффициента корреляции 2) -критерия Стьюдента 3) средней ошибки аппроксимации 4) - критерия Фишера
16	Оценка значимости уравнения регрессии осуществляется на основе	1) коэффициента корреляции 2) -критерия Стьюдента 3) средней ошибки аппроксимации 4) - критерия Фишера
17	Коэффициент корреляции знаков основан на оценке степени согласованности знаков отклонений факторного и результативного признаков от их	1) максимальных значений 2) средних значений 3) минимальных значений 4) сглаженных значений
18	Линейный коэффициент корреляции характеризует степень тесноты связи с учётом	1) знаков отклонений индивидуальных значений признаков от их средних 2) величин отклонений индивидуальных значений признаков от их средних 3) знаков и величин отклонений индивидуальных значений признаков от их средних 4) тесноты отклонений индивидуальных значений признаков от их средних
19	Оценка степени тесноты корреляционной связи между результативным и факторным признаками при криволинейной зависимости проводится с помощью	1) линейного коэффициента корреляции 2) эмпирического корреляционного отношения 3) индекса корреляции 4) теоретического корреляционного отношения
20	Факторная дисперсия отображает вариацию результативного признака от	1) признаков, которыми не обладают единицы изучаемой совокупности 2) всех признаков, кроме факторного 3) всех без исключения признаков 4) факторного признака
21	Остаточная дисперсия отображает вариацию результативного признака от	1) признаков, которыми не обладают единицы изучаемой совокупности 2) всех признаков, кроме факторного 3) всех без исключения признаков 4) факторного признака
22	Факторная дисперсия результативного признака равна	1) сумме общей и остаточной дисперсий результативного признака 2) разности общей и остаточной дисперсий факторного признака 3) разности общей и остаточной дисперсий результативного признака 4) отношению остаточной и общей дисперсий результативного признака

Решение задач

Задача 12. В результате бесповторного случайного отбора 10% работников завода получены данные по заработной плате (данные задачи 4). Определить: 1) с вероятностью 0,954 ( ) пределы, в которых будет находиться средняя заработная плата работников завода; 2) с вероятностью 0,997 ( ) пределы, в которых заключена доля работников завода, получающих заработную плату не менее 280 усл.ед.

Решение. Воспользуемся результатами задач 4, 5:

усл. ед. ; .

1) Средняя заработная плата работников завода будет находиться в пределах

где

усл. ед.

Поэтому средняя заработная плата находится в пределах от 260 – 9,3 = 250,7 усл. ед. до 260 + 9,3 = 269,3 усл. ед.

2) Доля работников в выборке, заработная плата которых не менее 280 усл. ед., равна

Дисперсия альтернативного признака

Предельная ошибка выборки

Доля работников завода, получающих заработную плату 280 усл. ед. и более будет находиться в пределах от до

Ответ:

Задача 13. На ткацкой фабрике работает 500 ткачих. Из 50 обследованных ткачих 35 имеют дневную выработку 70 м ткани и выше.

Определить численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ( ) ошибка выборки при определении доли ткачих с дневной выработкой 70 м и выше не превышала 4%.

Решение. Доля ткачих фабрики, имеющих выработку 70 м и выше будет находиться в интервале от до , где - доля ткачих, обладающих этим признаком в выборке; - предельная ошибка выборки. Для альтернативного признака

где - численность ткачих на фабрике. Величина (4%). Необходимая численность выборки

ткачих.

Ответ: ткачих.

Г Л О С С А Р И Й

Наименование понятия	Содержание
Предмет изучения статистики	Это количественная сторона массовых социально-экономических явлений в неразрывной связи с их качественной стороной в конкретных условиях места и времени
Статистический показатель	Это количественная характеристика изучаемого явления в условиях качественной определенности
Учётно-оценочный показатель	Это показатель фиксируемый непосредственно в результате наблюдения и, характеризующий объём, размеры и уровень изучаемого явления
Аналитические показатели	Это показатели, определяемые расчётным путём как производные от учётно-оценочных показателей и характеризующие особенности явления в его содержании, развитии и взаимосвязи с другими явлениями
Система статистических показателей	Это совокупность показателей, всесторонне характеризующих тот или иной объект статистического изучения
Статистическая методология	Это совокупность общих правил и принципов, специальных приёмов и методов статистического исследования
Статистическое наблюдение	Это научно организованный сбор данных о массовом явлении с целью получения первичной информации об отдельных единицах изучаемого явления
Статистическая группировка	Это разделение всей изучаемой совокупности по каким-либо признакам на однородные группы и подгруппы
Статистическая сводка	Это научная систематизация и обработка первичных данных наблюдения с целью получения обобщающих и итоговых показателей, относящихся ко всей изучаемой совокупности и её частям
Статистическая отчётность	Это организованная форма статистического наблюдения, при которой сведения собираются в виде обязательных отчётов в установленные сроки и по утверждённым формам
Специально организованное статистическое наблюдение	Это сбор сведений посредством переписей, единовременных учётов и обследований, проводимый для глубокого исследования отдельных, сложных или новых явлений
Объект наблюдения	Это исследуемая статистическая совокупность
Единица наблюдения	Это элемент совокупности, по которому собираются данные наблюдения
Статистический признак	Это конкретное свойство, качество, отличительная черта единицы наблюдения
Статистический инструментарий	Это носители первичной информации (бланки, анкеты и др.), разрабатываемые для технического обеспечения наблюдения
Момент наблюдения	Это момент или период времени, по состоянию на которые регистрируются данные
Сплошное наблюдение	Это наблюдение, которое охватывает все единицы изучаемой совокупности в заданных условиях места и времени
Несплошное наблюдение	Это наблюдение, охватывающее лишь часть единиц совокупности и имеющее целью характеристику всей совокупности по её части
Непрерывное наблюдение	Это систематическая регистрация всех фактов об исследуемых явлениях, когда необходимо учитывать все единицы, случаи и т.п.
Единовременное наблюдение	Это наблюдение, проводимое по мере возникновения необходимости в сборе данных о конкретном явлении или процессе
Непосредственное наблюдение	Это вид наблюдения, при котором регистрация фактов и признаков единиц совокупности проводится лично исследователем путём подсчёта и измерений
Документальное наблюдение	Это вид наблюдения, основывающийся на различных документах
Опрос	Это анкетная форма наблюдения, при которой анкеты могут заполняться как опрашиваемым, так и специальным лицом – интервьюером
Группировочный признак	Это признак единиц исследуемой совокупности, который выбирается в основание группировки
Существенный признак	Это признак, который определяет закономерности изучаемого явления
Факторный признак	Это признак, выступающий в роли причины, воздействующей на другие признаки в изучаемом явлении
Результативный признак	Это признак, формирующийся вследствие действия факторных признаков в изучаемом явлении
Простая группировка	Это группировка, в основу которой положен один признак
Сложная группировка	Это группировка, в основу которой положены два или более признаков
Ошибка наблюдения	Расхождение между расчётным и действительным значением изучаемых величин
Объект наблюдения	Статистическая совокупность, в которой существуют исследуемые процессы и явления
Статистическая таблица	Это форма рационального и наглядного представления статистических характеристик в виде пересекающихся горизонтальных и вертикальных линий, образующих графы и строки
Простая или перечневая таблица	Это таблица, содержащая показатели, относящиеся к перечню единиц наблюдения, хронологических дат или территориальных подразделений
Групповая таблица	Это таблица, в которой статистическая совокупность разделена на отдельные группы по какому-либо признаку, причём каждая из групп может быть охарактеризована несколькими показателями
Комбинационная таблица	Это таблица, в которой изучаемая совокупность разбита не по одному, а по нескольким признакам одновременно

Абсолютные показатели	Показатели, получаемые путём непосредственного суммирования первичных данных, характеризующих численность совокупности, объём изучаемого явления
Относительные показатели	Показатели, представляющие собой частное от деления двух статистических величин и характеризующие количественное отношение между ними
Относительный показатель динамики	Характеризует степень изменения изучаемого явления во времени, выявляет направление развития явления
Относительный показатель планового задания	Показывает, во сколько раз показатель планового задания больше или меньше по сравнению с его уровнем предшествующего (базового) периода
Относительная величина выполнения плана	Показывает, во сколько раз фактический уровень показателя в отчётном периоде больше или меньше плана того же периода
Относительная величина структуры	Характеризует долю отдельных частей в общем объёме совокупности
Относительная величина координации	Характеризует соотношение показателей отдельных частей совокупности с показателем части, принятой в качестве базы
Относительные величины наглядности	Отражают результаты сопоставления одноименных показателей, относящихся к одному периоду времени, но к разным статистическим объектам
Относительные величины интенсивности	Представляют отношение между двумя разноимёнными показателями и показывают, насколько распространено явление в определённой среде
Средние величины	Это обобщающие показатели, характеризующие типичный уровень варьирующего признака в расчёте на единицу совокупности
Мода	Наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности
Медиана	Значение признака, которое делит ранжированный вариационный ряд на две равные части
Статистический ряд распределения	Это упорядоченное расположение единиц или групп изучаемой совокупности по группировочному признаку
Варианта	Отдельное значение варьирующего признака, которое он принимает в ряду распределения
Интервал	Значения вариационного признака, лежащие в определённых границах
Открытые интервалы	Интервалы, у которых указана только одна граница
Атрибутивный ряд распределения	Ряд, построенный по качественному признаку
Вариационный ряд распределения	Ряд, построенный по количественному признаку
Дискретный вариационный ряд	Распределение единиц совокупности по дискретному признаку
Интервальный вариационный ряд	Ряд, который отражает непрерывную вариацию признака
Подлежащее статистической таблицы	Состоит из перечня единиц совокупности либо групп исследуемого объекта по существенным признакам
Сказуемое статистической таблицы	Количественное выражение показателей, которыми характеризуется объект изучения
Частота	Численность отдельных вариант или численность единиц группы в ряду распределения
Статистический график	Это наглядное изображение статистических данных с помощью геометрических линий, фигур, схем, значков и т.п.
Вариация	Это количественные изменения признака в пределах однородной совокупности, обусловленные действием различных факторов
Общая дисперсия	Характеризует вариацию признака в совокупности, обусловленную всеми факторами. Исчисляется как средний квадрат отклонений признака от его среднего значения
Межгрупповая дисперсия	Характеризует вариацию признака, возникающую под влиянием признака – фактора, положенного в основу группировки
Средняя внутригрупповых дисперсий	Характеризует средний уровень той части вариации, которая в отдельных группах возникает под влиянием всех факторов за исключением влияния группировочного признака – фактора
Правило сложения дисперсий	Общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней внутригрупповых дисперсий
Альтернативный признак	Это признак, которым обладают одни единицы совокупности и не обладают другие. Альтернативный признак имеет лишь два возможных значения
Ряд динамики	Это последовательность расположенных в хронологическом порядке статистических показателей, отображающих развитие явления во времени
Уровень ряда динамики	Количественное значение признака, соответствующее определённому показателю времени в ряде динамики
Моментный ряд динамики	Отображает уровень динамического ряда на дату (момент времени)
Интервальный ряд динамики	Отображает итоги (обобщённые уровни) развития явления за отдельные периоды (интервалы) времени
Абсолютный прирост	Есть разность двух уровней ряда динамики в единицах измерения исходной информации
Темп роста	Есть отношение двух сравниваемых уровней ряда динамики
Темп прироста	Показатель, характеризующий абсолютный прирост в относительных величинах
Средние показатели ряда динамики	Представляют собой обобщённую характеристику соответствующих индивидуальных показателей динамического ряда
Тенденция ряда динамики (тренд)	Направление и характер изменения (развития) уровней ряда с ростом временного параметра
Метод укрупнения интервалов	Заключается в преобразовании первоначального ряда динамики в ряды с более продолжительными периодами с тем, чтобы колеблющиеся уровни ряда не затушёвывали основную тенденцию
Метод сглаживания скользящей средней	Заключается в определении теоретических средних уровней ряда, сглаживающих случайные отклонения
Метод аналитического выравнивания	Заключается в определении такой аналитической функции (адекватной математической функции), которая наилучшим образом описывает тенденцию ряда динамики
Метод наименьших квадратов	Применяется для построения адекватной математической функции ряда динамики и состоит в требовании, чтобы сумма квадратов отклонений теоретических значений уровня от эмпирических была минимальна
Интерполяция	Построение тренда на основе фактически сложившихся уровней ряда динамики на прошедшем промежутке времени
Экстраполяция	Метод, заключающийся в распространении выявленных в анализе рядов динамики закономерностей развития явления на будущее
Прогнозирование	Получение выводов по тенденции развития явления в будущем на основе экстраполяции
Сезонные колебания	Более или менее устойчивые внутригодовые колебания уровней развития социально-экономических явлений
Индексы	Относительные показатели, характеризующие степень выполнения плана, изменения во времени, соотношение в пространстве уровней социально-экономических явлений
Индивидуальные индексы	Характеризуют соотношение показателей, относящихся к отдельным (однородным) единицам статистической совокупности
Общие (групповые) индексы	Характеризуют сводные результаты изменения явления в пространстве и времени по всем единицам, образующем статистическую совокупность (группу)
Средний индекс	Индекс, вычисленный как средняя величина из индивидуальных индексов
Базисные индексы	Индексы с постоянным основанием (базой)
Цепные индексы	Получают путём сопоставления показателей каждого периода с показателем предыдущего периода
Территориальные индексы	Получают путём сопоставления одноимённых показателей, относящихся к различным территориям
Выборочное наблюдение	Несплошное наблюдение, при котором обследованию подвергаются отобранные случайным образом единицы изучаемой совокупности
Генеральная совокупность	Совокупность, из которой производится отбор части единиц
Выборочная совокупность	Часть единиц генеральной совокупности, подвергающаяся обследованию
Ошибка выборки	Возможное расхождение между одноимённой характеристикой генеральной и выборочной совокупности
Повторный отбор	Отбор, предполагающий обследование единиц выборочной совокупности, их возврат в генеральную совокупность и возможность повторного попадания в выборочную совокупность
Бесповторный отбор	Отбор, предполагающий, что отобранная единица не возвращается в генеральную совокупность и не может быть отобрана повторно
Собственно-случайная выборка	Образуется в результате случайного отбора отдельных единиц из генеральной совокупности
Механическая выборка	Заключается в том, что отбор единиц в выборку производится из генеральной совокупности разбитой на равные группы по количеству единиц, причём порядковый номер отобранных единиц равен обратной величине доли выборки
Типическая выборка	Состоит в том, что генеральная совокупность вначале разделяется на однородные типические группы, затем из каждой группы собственно-случайной или механической выборкой производится отбор единиц в выборочную совокупность
Серийная выборка	Заключается в том, что из генеральной совокупности отбираются не отдельные единицы, а целые из серии, причём внутри каждой серии обследуются все без исключения единицы
Способ прямого пересчёта показателей выборки	Заключается в том, что показатели выборочной совокупности переносятся на генеральную совокупность с учётом предельной ошибки выборки
Способ поправочных коэффициентов	Состоит в том, что результаты сплошного наблюдения уточняются с помощью поправочных коэффициентов недоучёта, полученных по данным выборочного наблюдения
Функциональная связь	Это связь, когда определённому изменению факторного признака (признаков) соответствует строго определённое изменение результативного признака
Корреляционная связь	Такая связь, когда изменение результативного признака обусловлено влиянием факторного признака не всецело, а лишь частично, так как возможно влияние прочих факторов
Прямая связь	Связь, при которой с увеличением факторного признака результативный признак увеличивается
Обратная связь	Связь, при которой с увеличением факторного признака результативный признак уменьшается
Прямолинейные связи	Связи, которые описываются уравнением прямой
Анализ	Метод научного исследования объекта путём рассмотрения его отдельных сторон и составных частей
Регрессионный анализ	Анализ, целью которого является получение оценки функциональной зависимости теоретического среднего значения результативного признака от факторного
Парная регрессия	Характеризует связь между результативным и факторным признаками в виде аналитического уравнения (уравнения регрессии)
Множественная регрессия	Характеризует связь между результативным признаком и двумя и более факторными признаками с помощью аналитического уравнения связи
Статистическая закономерность	Форма проявления причинной связи, выражающаяся в последовательности, регулярности, повторяемости событий с достаточно высокой степенью вероятности, если причины, порождающие события, не изменяются или изменяются незначительно

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Формула Стерджесса

Величина равного интервала

Величина неравных интервалов

а) изменяющихся в арифметической прогрессии

б) изменяющихся в геометрической прогрессии

где константы арифметической и геометрической прогрессий.

Общая формула степенной средней

а) простая б) взвешенная

Правило мажорантности

Средняя арифметическая

а) простая б) взвешенная

Средняя гармоническая

а) простая б) взвешенная

где - вес признака

Средняя квадратическая

а) простая б) взвешенная

Средняя геометрическая

а) простая б) взвешенная

Мода интервального ряда распределения

Медиана интервального ряда распределения

Размах интервального ряда распределения

Среднее линейное отклонение

а) невзвешенное б) взвешенное

Дисперсия вариационного признака

а) невзвешенная б) взвешенная

Дисперсия альтернативного признака

Среднее квадратическое отклонение

а) вариационного признака б) альтернативного признака

Коэффициент осцилляции

Относительное линейное отклонение

Коэффициент вариации

Правило сложения дисперсий

где - общая дисперсия.

Межгрупповая дисперсия

Средняя внутригрупповых дисперсий

Эмпирический коэффициент детерминации

Эмпирическое корреляционное отношение

Индекс детерминации

Теоретическое корреляционное отношение

Факторная дисперсия

Остаточная дисперсия

Коэффициент асимметрии

где - центральный момент третьего порядка.

Эксцесс

где - центральный момент четвёртого порядка

Нормальное распределение

Абсолютный прирост

а) базисный б) цепной

Темп роста

а) базисный б) цепной

Темп прироста

а) базисный б) цепной

Абсолютное значение 1% прироста

Средний уровень моментного ряда динамики

а) с равноотстоящими уровнями б) с неравноотстоящими уровнями

Средний уровень интервального ряда динамики

а) с равноотстоящими уровнями б) с неравноотстоящими уровнями

Средний абсолютный прирост

Средний темп роста

а) в коэффициентах б) в процентах

Средний темп прироста

а) в коэффициентах б) в процентах

Индивидуальные индексы

а) физического объёма продукции

б) цен

в) себестоимости

г) производительности труда

где - выработка; - трудоёмкость;

д) стоимости продукции

Общие индексы

а) стоимости продукции или товарооборота

б) физического объёма

в) цен

г) себестоимости единицы продукции

д) издержек производства

е) производительности труда

где - численность работников;

ж) затрат времени на производство продукции

Средняя арифметическая форма индекса физического объёма

Средняя гармоническая форма индексов цен и себестоимости

Общая формула индекса переменного состава

Общая формула индекса постоянного состава

Общая формула индекса структурных сдвигов

Индекс цен Ласпейреса

Индекс цен Пааше

Средняя ошибка выборки

а) повторный отбор б) бесповторный отбор

Предельная ошибка выборки

Соотношение между генеральной и выборочной дисперсиями

Необходимый объём выборки

а) повторная б) бесповторная

Индексы сезонности

а) в стабильных рядах динамики б) с тенденцией изменения

где - осреднённые фактические данные по одноименным периодам; - общая (постоянная) средняя; - выравненные уровни ряда динамики по уравнению тренда (переменная средняя); - число одноименных периодов.

Метод наименьших квадратов

где - сглаженные теоретические и эмпирические уровни результативного признака, соответствующие значениям факторного признака

Основные типы аналитических уравнений парной регрессии

а) прямая

б) гипербола

в) парабола

г) показательная функция

д) степенная функция

е) полулогарифмическая функция

;

ж) логистическая функция

Основные типы аналитических функций множественной регрессии

а) линейная

б) степенная

в) показательная

г) параболическая

;

д) полиномиальная

е) гиперболическая

Линейный коэффициент корреляции (Пирсона)

Коэффициент корреляции знаков (Фехнера)

ЗАДАНИЯ

Перед решением каждой задачи необходимо приводить её полное условие. Таблицы строятся согласно правилам, принятым в статистике. Все расчёты производятся с точностью до 0,001, а проценты – до 0,1. Решение следует сопровождать формулами, развёрнутыми расчётами, краткими определениями и пояснениями. Анализ и выводы должны основываться исключительно на имеющихся в задачах данных и иметь краткий характер.

Задание 1. По 20 предприятиям отрасли имеются данные за отчётный период о среднесписочной численности работающих и выпуске продукции:

№ предприятия	Среднесписочная численность работающих, чел.	Выпуск продукции, млн. руб.	№ предприятия	Среднесписочная численность работающих, чел.	Выпуск продукции, млн. руб.
1	350	32,0	11	300	41,0
2	600	69,0	12	420	61,5
3	480	58,0	13	1200	140,5
4	400	50,0	14	1000	110,8
5	900	120,0	15	730	85,6
6	820	105,0	16	665	83,0
7	425	48,5	17	570	61,9
8	620	70,3	18	920	100,3
9	574	68,0	19	865	99,5
10	855	94,0	20	910	110,2

Выполнить простую статистическую группировку предприятий по численности работающих, образовав пять групп с равными интервалами. Результаты представить в виде таблицы с указанием итогов по числу предприятий и численности работающих в группах.

Задание 2. По 20 предприятиям отрасли имеются данные из годовых отчётов:

№ предприятия	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн.руб.	Выпуск продукции, млн. руб.	№ предприятия	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн.руб.	Выпуск продукции, млн. руб.
1	40	70	11	45	64
2	48	74	12	65	81
3	60	110	13	78	118
4	70	120	14	120	210
5	45	78	15	80	131
6	100	165	16	94	108
7	56	68	17	55	93
8	48	59	18	69	98
9	75	140	19	70	105
10	65	104	20	88	115

Выполнить простую статистическую группировку:

а) выбрать группировочный признак для предприятия;

б) определить число групп и величины интервалов, принимая интервалы одинаковыми;

в) сгруппировать данные;

г) результаты группировки представить в таблице с указанием итогов по числу предприятий в группах.

Задание 3. По данным наблюдения (данные в задании 1) сделать сводку:

а) произвести группировку предприятий по среднесписочной численности работающих, образовав четыре группы с равными интервалами;

б) рассчитать итоговые показатели по числу предприятий, среднесписочной численности работающих и выпуску продукции по группам и совокупности предприятий в целом;

в) определить выпуск продукции в среднем на одно предприятие и в среднем на одного работающего по группам и по совокупности в целом;

г) оформить результаты в виде аналитической таблицы, проанализировать их и сделать выводы.

Задание 4. По данным наблюдения (данные в задании 2) сделать сводку:

а) произвести группировку предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, образовав четыре группы с равными интервалами;

б) рассчитать итоговые показатели по числу предприятий, среднегодовой стоимости основных фондов и выпуску продукции по группам и совокупности предприятий в целом;

в) определить выпуск продукции в среднем на одно предприятие по группам и по совокупности в целом;

г) оформить результаты в виде аналитической таблицы, проанализировать их и сделать выводы.

Задание 5. Имеются данные о производстве двух видов продукции на заводе за год:

Продукция	Процент выполнения плана	Процент продукции высшего качества	Стоимостные объёмы, млн. руб.
А	105,2	87,4	2004,0
Б	99,8	94	1628,0

Определить:

1) средний процент выполнения планового задания;

2) средний процент продукции высшего качества.

Обосновать выбор средних.

Задание 6. По имеющимся данным исчислить среднюю урожайность зерновых за два

периода по трём колхозам района. Обосновать выбор средних.

Колхоз	Базисный период		Отчётный период
	Валовой сбор, ц	Урожайность с 1 га, ц	Посевная площадь, га	Урожайность с 1 га, ц
1	6800	32,0	220	30,5
2	8600	34,0	260	32,0
3	12400	28,0	430	26,8

Задание 7. Имеются данные о стаже работы 50 сотрудников фирмы

Стаж работы, лет	до 5	5 - 10	10 - 15	15 - 20	более 20
Число сотрудников	15	12	7	8	8

Определить:

1) средний стаж работы по совокупности обычным способом и способом моментов;

2) моду и медиану. Поясните полученные результаты.

Задание 8. Для определения надежности было проведено исследование времени

работы 1000 датчиков. Получены следующие данные.

Время работы датчика, час	2	3	5	8	12	15	17	19
Число датчиков, шт.	10	20	40	350	420	120	30	10

По данным обследования определить среднее время работы датчика обычным способом и способом моментов, а также моде и медиану. Пояснить результаты.

Задание 9. По данным задания 7 исчислить показатели вариации: размах вариации,

среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также коэффициенты осцилляции, линейного отклонения и вариации. Охарактеризуйте значение коэффициента вариации.

Задание 10. Используя данные задачи 8, определите коэффициент детерминации датчиков по времени работы, если известно, что межгрупповая дисперсия равна 6,9.

Задание 11. Динамика розничного товарооборота магазина в первом полугодии характеризуется данными:

Месяц	январь	февраль	март	апрель	май	июнь
Товарооборот, млн.руб.	94,2	95,1	97,6	97,0	101,3	98,2

Определите:

1) аналитические показатели ряда динамики:

- абсолютные приросты, темпы роста и прироста по годам и к 1999 году;

- абсолютное содержание 1% прироста;

2) средний годовой объём производства часов;

3) среднегодовой абсолютный прирост, среднегодовые темпы роста и прироста.

Проанализируйте рассчитанные показатели и сделайте выводы.

Задание 12. Фондоотдача предприятий легкой промышленности города характеризуется данными:

Год	2000	2001	2002	2003	2004
Фондоотдача, руб./руб.	0,182	0,184	0,183	0,205	0,206

Определите:

1) аналитические показатели ряда динамики:

- абсолютные приросты, темпы роста и прироста по годам и к 1999 году;

- абсолютное содержание 1% прироста;

2) средний годовой объём производства часов;

3) среднегодовой абсолютный прирост, среднегодовые темпы роста и прироста.

Сделайте выводы.

Задание 13. По следующим данным исчислить средние товарные остатки торгового предприятия за квартал отчётного года:

Дата	На 1.07	На 1.08	На 1.09	1.10
Товарные остатки, млн.руб.	184	215	156	203

Задание 14. Имеются данные о числе выявленных случаев браконьерства в заповедной зоне за 15 сопоставимых периодов

Номер периода	Число случаев	Номер периода	Число случаев
1	22	9	14
2	18	10	12
3	18	11	13
4	19	12	6
5	16	13	9
6	17	14	10
7	16	15	10
8	16

Провести выявление тренда ряда динамики методом укрупнения интервалов. Сделать вывод.

Задание 15. Имеются данные о производстве продукции двумя цехами предприятия и себестоимости:

Цех	Производство продукции, шт.		Себестоимость тыс.руб./шт.
	февраль	март	февраль	март
1	910	940	60	50
2	820	900	40	54

Рассчитать по двум цехам вместе:

1) индекс себестоимости переменного состава;

2) индекс себестоимости постоянного состава;

3) индекс структурных сдвигов. Пояснить результаты.

Задание 16. По следующим данным исчислить:

1) общие индексы цен и товарооборотов;

2) сумму экономии (потерь), полученную населением от снижения (повышения) цен.

Товарные группы	Продано в фактических ценах, млн.руб.		Процент изменения цен в августе по сравнению с апрелем
	в апреле	в августе
Мясопродукты	70	60	+15
Овощи	80	100	-3
Хлебопродукты	15	20	без изменения

Задание 17. При проверке 100 приборов на длительность эксплуатации, отобранных в случайном порядке, было обнаружено 95% приборов, удовлетворяющих стандарту.

С вероятностью 0,954 ( ) определить границы, в которых заключен процент лампочек, не удовлетворяющих стандарту.

Задание 18. По данным задания 8, полученным при 5% бесповторном выборочном исследовании, определить:

1) с вероятностью 0,997 ( ) пределы, в которых будет находиться среднее время работы датчика;

2) с вероятностью 0,954 ( ) пределы, в которых находится доля датчиков, время работы которых 15 часов и менее.

Задание 19. В стаде 450 коз. В результате контрольной стрижки 50 коз установлено, что настриг шерсти на 1 козу, равный 3 кг, получен от 35 коз.

С вероятностью 0,997 ( ) определить границы, в которых заключена доля коз с настригом шерсти 3 кг на козу во всем стаде.

Задание 20. По 20 продуктовым магазинам города имеются следующие данные за отчётный период:

№ магазина	Товарооборот, млн. руб.	Издержки обращения, млн. руб.	№ магазина	Товарооборот, млн. руб.	Издержки обращения, млн. руб.
1	70,0	12,5	11	98,4	19,0
2	67,0	9,5	12	74,5	11,6
3	89,5	14,7	13	45,3	4,1
4	94,1	17,0	14	41,6	3,7
5	58,4	6,1	15	30,1	2,0
6	32,8	3,5	16	60,2	3,6
7	41,0	3,9	17	88,0	14,1
8	64,0	11,4	18	85,2	12,4
9	45,2	6,2	19	55,0	8,2
10	15,0	1,3	20	63,0	7,5

Определить: линейный коэффициент корреляции и эмпирическое корреляционное отношение между издержками обращения и товарооборотом.

Построить линейное уравнение регрессии. Проанализировать полученные показатели, сделать выводы.

ЛИТЕРАТУРА

Основная

1. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. Учебник. 4-е изд., переработ. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2001.-480 с.

2. Ефимова М.Р. и др. Общая теория статистики. Учебник. 2-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2002.-413 с.

3. Ефимова М.Р. и др. Практикум по общей теории статистики. Учебное пособие. М.: Финансы и статистика, 2000.-278 с.

4. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности /О.Э. Башина, А.А. Спирин, В.Т. Бабурин и др. – 5-е изд., доп. и перераб.-М.: Финансы и статистика, 2001.-440 с.

5. Теория статистики. Учебник /Под ред. Р.А. Шмойловой.- М.: Финансы и статистика, 2001.-558 с.

Дополнительная

6. Глинский В.В. Статистический анализ: Учебное пособие. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА – М, 2002. – 241 с.

7. Закон о государственной статистике Республики Беларусь. Принят Палатой Представителей Республики Беларусь 11 января 1997 г. Подписан Президентом Республики Беларусь 17 февраля 1997 г.

8. Методологические положения по статистике. Выпуск второй – Мн.: Минстат Республики Беларусь, 2003. – 452 с.

9. Практикум по теории статистики. Учебное пособие. Под ред. Р.А. Шмойловой. М.: Финансы и статистика, 2001. – 404с.

10.Статистика. Национальные счета. Показатели и методы анализа. Справочное пособие. Мн., БГЭУ, 1995.

11. Статистика. Учебное пособие. И.Е. Теслюк, В.А. Тарловская, И. Н. Терлиженко и др. – Мн.: Ураджай, 2000. – 360 с.

12. Статистический ежегодник Республики Беларусь 2004. – Мн.: Минстат Республики Беларусь, 2005.

ПРИЛОЖЕНИЯ

П1. Некоторые значения коэффициента доверия при заданных значениях

доверительной вероятности

0,4843 0,5161 0,5467 0,5763 0,6047 0,6319 0,6579 0,6827 0,7063 0,7287 0,7499 0,7699 0,7887 0,8064 0,8230 0,8385 0,8529 0,8664	0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50	0,8789 0,8904 0,9011 0,9109 0,9199 0,9281 0,9357 0,9426 0,9488 0,9545 0,9596 0,9643 0,9684 0,9722 0,9756 0,9786 0,9812 0,9836	1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,05 2,10 2,15 2,20 2,25 2,30 2,35 2,40	0,9858 0,9876 0,9892 0,9907 0,9920 0,9931 0,9940 0,9949 0,9956 0,9963 0,9968 0,9973 0,9977 0,9980 0,9984 0,9989 0,9994 0,9999	2,45 2,50 2,55 2,60 2,65 2,70 2,75 2,80 2,85 2,90 2,95 3,00 3,05 3,10 3,15 3,26 3,42 3,90

П2. Критические значения корреляционного отношения и индекса

детерминации при уровне значимости

	1	2	3	4	5	6	8	10	20
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 16 18 20 30 40 50 60 80 100 120 200	0,771 658 569 500 444 399 362 332 306 283 247 219 197 179 122 093 075 063 047 038 032 019	865 776 699 632 575 527 488 451 420 394 345 312 283 259 182 139 113 095 072 058 049 030	903 832 764 704 651 604 563 527 495 466 417 378 348 318 227 176 143 121 093 075 063 038	924 865 806 751 702 657 628 582 550 521 471 429 394 364 264 207 170 144 110 090 075 046	938 887 835 785 739 697 659 624 593 564 514 477 435 404 297 234 194 165 127 103 087 053	947 902 854 811 768 729 692 659 628 600 550 507 470 432 326 259 216 184 142 116 098 060	959 924 885 847 810 775 742 711 682 655 607 564 527 495 373 304 254 218 170 140 119 073	967 937 904 871 839 807 777 749 722 696 650 609 573 540 419 342 288 249 196 161 137 086	983 967 948 928 908 887 867 847 828 809 773 740 709 680 563 479 416 368 298 251 217 139

П3. Критические значения F-критерия при уровне значимости

	1	2	3	4	5	6	8	10	20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 16 18 20 30 40 60 120	161,4 18,51 10,13 7,71 6,61 5,99 5,59 5,32 5,12 4,96 4,82 4,75 4,60 4,49 4,41 4,35 4,17 4,08 4,00 3,92	199,5 19,00 9,45 6,94 5,79 5,14 4,74 4,46 4,26 4,10 3,98 3,88 3,74 3,63 3,55 3,49 3,32 3,23 3,15 3,07	215,7 19,16 9,28 6,59 5,41 4,76 4,35 4,07 3,86 3,71 3,59 3,49 3,34 3,24 3,16 3,10 2,92 2,84 2,76 2,68	224,6 19,25 9,12 6,39 5,19 4,53 4,12 3,84 3,63 3,48 3,36 3,26 3,11 3,01 2,93 2,87 2,69 2,61 2,52 2,45	230,2 19,30 9,01 6,26 5,05 4,39 3,97 3,69 3,48 3,33 3,20 3,11 2,96 2,85 2,77 2,71 2,53 2,45 2,37 2,29	234,0 19,33 8,94 6,16 4,95 4,28 3,87 3,58 3,37 3,22 3,09 3,00 2,85 2,74 2,66 2,60 2,42 2,34 2,25 2,17	238,9 19,37 8,84 6,04 4,82 4,15 3,73 3,44 3,23 3,07 2,95 2,85 2,70 2,59 2,51 2,45 2,27 2,18 2,10 2,02	242,0 19,39 8,78 5,96 4,74 4,06 3,63 3,34 3,13 2,97 2,86 2,76 2,60 2,49 2,41 2,35 2,16 2,12 2,04 1,90	248,0 19,44 8,66 5,80 4,56 3,87 3,44 3,15 2,93 2,77 2,65 2,54 2,39 2,28 2,19 2,12 1,93 1,84 1,75 1,65

123