62. Теория случайных процессов для анализа рядов динамики

Теоретической базой для анализа динамических рядов явилась теория случайных процессов (Колмогоров, 1941; Бартлетт, 1958; Андерсон, 1976; Свешников, 1968). Случайные процессы представляют собой семейство случайных функций X(t), зависящих от одного параметра, которым в большинстве случаев является время. Cовременная методика статистического анализа случайных процессов построена на постулате непрерывности динамической траектории. Однако на практике для преодоления вычислительных трудностей непрерывный ряд представляется таблично в виде дискретных численных последовательностей (даже если проводилась непрерывная запись изменения явления с помощью механических или электронных приборов).

Важными характеристиками случайного процесса являются математическое ожидание и дисперсия. Математическим ожиданиемпроцесса X(t) является неслучайная функция m_x(t), значение которой в момент времени t равно математическому ожиданию множества реализаций в соответствующем сечении t. Дисперсией случайного процесса является неслучайная функция D_x(t), значение которой также равно дисперсии реализаций сечения в каждый момент времени t.

Временной ряд стационарен, если порождающий его механизм не меняется при сдвиге во времени, а соответствующий случайный процесс достиг статистического равновесия. Это определение не вполне точно, однако выражает существо дела. Формально стационарный временной ряд определяется как такой случайный процесс, для которого математическое ожиданиие, дисперсия и ковариации между отдельными членами ряда случайно варьируют вокруг постоянного, не зависящего от времени уровня (так называемая "стационарность" в широком смысле, которая только и рассматривается для временных рядов):

m_x(t) = const ; D_x(t) = const.

Простейшим примером стационарного временного ряда является "белый шум" - чисто случайный процесс, значения которого в различные моменты времени независимы и одинаково распределены.

В центре внимания исследователей находятся обычно общие закономерности, скрытые в эмпирических данных и отражающие внутреннюю структуру явления. Трендом (или тенденцией) называют неслучайную медленно меняющуюся составляющую временного ряда, на которую могут накладываться случайные колебания или сезонные эффекты. Это не вполне строгое понятие использует множество моделей и методов анализа динамики, в основе которых лежит разложение временного ряда на несколько компонент, одна из которых является в определенном смысле достаточно гладкой, отражая глобальную направленность процесса, а остальные компоненты характеризуют воздействие случайных факторов.

Большинство рядов динамики экологических показателей имеют тенденцию среднего уровня, т.е. они, по существу, нестационарны. Однако такие ряды могут быть легко преобразованы в центрированные стационарные ряды путем вычитания функции тренда (элиминирование тренда).

Во многих рядах динамики экологических систем можно наблюдать сезонные колебания под влиянием внешних факторов, действующих циклически с заранее известной периодичностью. Типичными примерами сезонности являются эффекты, связанные с астрономическими либо календарными причинами. Так, в ряду ежемесячных данных естественно ожидать наличие сезонных эффектов с периодом 12, в квартальных рядах - с периодом 4. В свою очередь, в информации, собираемой с интервалом 1 час, вполне могут возникнуть суточные эффекты с периодом 24. Некоторые исследователи обнаруживают многолетние циклы в компонентах биосферы разной регулярной периодичности (50, 18, 9 лет и др.) и связывают их с солнечной активностью (см. раздел 2.2.7). Существуют и другие квазипериодические зависимости значения случайной функции от предыстории (временного лага), позволяющие вычислить вероятность того, что некоторое будущее значение будет лежать в определенном интервале.