48.Алгоритм оптимизации методом Нелдера-Мида.

Последовательность работы метода Нелдера-Мида:

Задается исходный симплекс (x_k, k=1,…,n+1), к – номер вершины симплекса;

Вершины симплекса упорядочиваются по убыванию целевой функции .

1. Определяются координаты геометрического центра фигуры, состоящей из n лучших вершин (не включая ).

2. Найденный центр отражается. Координаты точки рассчитываются по формуле: , .

В точке рассчитываем значение целевой функции .

3. Значение целевой функции сравнивается с ее значением в вершинах исходного симплекса. В результате сравнения возможны следующие варианты:

1. Если , т.е. - не лучшая, но и не худшая точка по сравнению с исходным симплексом. Тогда вершина с координатой заменяется на вершину с координатой и выполняется следующий шаг поиска, начиная с п.2.

2. Если , то направление считается удачным и делается попытка растяжения симплекса в этом направлении.

Рассчитывается координата новой точки:

- коэффициент растяжения, ( ).

В полученной точке рассчитываем . Если , то попытка удачная. меняем на .

Если же , то вершина меняем на и возвращаемся к п.2.

3. Если , то симплекс признается слишком большим и выполняется его сжатие.

- коэф. сжатия, , .

В этой точке рассчитывается целевая функция и если , то сжатие считается удачным и вершина меняется на и возвращаемся к п.2.

Если , то выполняется текущего симплекса новым

После этого пересчета делается проверка останова задачи:

- погрешность решения.

Если условие выполняется, то решение останавливается. Если условие не выполняется, то со значениями координат симплекса идем к п.2.

49.Симплексный и градиентный методы оптимизации

Симплексный метод.

Симплекс – многогранник, число сторон которого на одну больше мерности пространства.

Для поиска новой вершины применяется способ отражения.

Е сли , то процесс удачный.

- оптимальное значение

Если ,

то возвращаемся назад и берем х₂.

Градиентный метод.

Упрощенно принцип работы градиентных методов минимизации функций полно представить следующим образом:

1) в исходной точке поиска с координатой х₀ определяется нап­равление аитиградиента;

2) вдоль этого направления выполняется шаг заданной длины;

3) в полученной таким образом новой точке опять определяется направление антиградиента и т.д.

Процесс проводится до тех пор, пока происходит улучшение ре­зультата, т.е. идет убывание функции F(x).

Отличие разных градиентных методов друг от друга состоит в способе выбора длины и конкретного направления шага на каждом этапе поиска.

Наиболее простым методом является тот, в которой движение вдоль направления антиградиента осуществляется с постоянным шагом:

где и - номера предыдущей и последующей итерации поиска.

- модуль градиента.

Если значение целевой функции в новой точке оказывается больше значения в предыдущей точке, т.е. F_k+1 > F_k , то производится возвращение в предыдущую точку, потом шаг делится пополам и процесс продолжается с уменьшенным шагом. Решение останавливается тогда, когда величина шага оказывается меньше некоторого заданно­го малого числа или модуль градиента становится меньше другого заданного числа .

В некоторых случаях более эффективна является движение с шагом, пропорциональным модулю градиента;

Еще более совершенном градиентным методом является метод на­искорейшего спуска, в котором используется одномерный поиск (вдоль одного направления). Его особенность состоит в том, что определив направление антиградиента в исходной точке, определяют точку относительного минимума целевой функции по этому направле­нию, потом в этой точке снова рассчитывают антиградиент, и про­цесс повторяется до тех пор, пока последующие итерации позволяют улучшать результат (уменьшать значение целевой функции).