Практичне заняття 40. (2 год.)

Тема: Скалярне поле. Похідна за напрямком. Градієнт функції.

Хід заняття:

1. Опитування теоретичного матеріалу.

1. Сформулювати визначення скалярного поля.

2. Сформулювати визначення поверхні рівня.

3. Сформулювати визначення похідної за напрямком.

4. Сформулювати визначення градієнта функції.

5. Записати та довести властивості градієнта.

6. Який зв'язок між похідною за напрямом і градієнтом скалярного поля?

2. Розв’язування задач по темі заняття.

1. Знайти і побудувати лінії рівня заданих скалярних полів:

а) u = у ² + х; б) u = ху; в) u = у/х.

2 Задано скалярне поле

u = х² - у² + z²х, точка М(1, -1, 2), вектор а = 2і - 2j + k.

Обчислити: а) похідну скалярного поля u в точці М за напрямом l, заданим вектором а, тобто |_м.;

б) напрям та величину градієнта скалярного поля u в точці М, тобто grad u |_м та |grad u | _м|.

3. Завдання для самостійної роботи.

1. Знайти і побудувати поверхні рівня заданих скалярних полів:

а) u = х + у + z; б) u = х² + у² - z²; в) u = х² + у² - z

2. Знайти швидкість і напрямок найшвидшого зростання поля u = хуz у точці М₀(1, 2, 2).

4. Домашнє завдання.

Виконати № 4.127, № 4.128 стор. 285 [4].

Практичне заняття 41. (2 год.)

Тема:Частинні похідні та диференціали вищого порядку.

Хід заняття:

1. Опитування теоретичного матеріалу.

1. Визначити і вказати правило знаходження похідних вищих порядків.

2. Визначити і вказати правило знаходження диференціалів вищих порядків.

2. Розв’язування задач по темі заняття.

1. Знайти частинні похідні другого порядку функції z = у ln х. Перевірити, що = .

2. Знайти диференціал другого порядку d ²z функції z = sin x siny

3. Знайти для функції u = sin(х + соs у).

3. Завдання для самостійної роботи.

1. z = 0,5 ln(х² + у² ). Знайти d² z.

2, u = хуz. Знайти d³ z.

4. Домашнє завдання.

Виконати № 2.103, № 2.107, № 2.101 стор. 142 [4].

Практичне заняття 42. (2 год.)

Тема:Екстремуми функції двох змінних.

Хід заняття:

1. Опитування теоретичного матеріалу.

1. Наведіть означення точки локального мінімуму (максимуму) функції багатьох змінних.

2. Сформулюйте необхідні умови локального екстремуму.

3. Яка точка називається стаціонарною?

4. Достатні умови локального екстремуму функції двох змінних.

2. Розв’язування задач по темі заняття.

1. Знайти точки екстремуму функції двох змінних:

а) z = 2ху - 3х² - 2у² + 10; б) z = 4(х – у) - х² - у²; в) z = х³ + 3ху² – 15х – 12у.

3. Завдання для самостійної роботи.

Знайти точки екстремуму функції трьох змінних:

а) u = х² + у² + z² - 4х + 6у - 2z;

б) u = х у² z³ (1 – х – 2у - 3z), якщо х > 0, у > 0, z > 0.

4. Домашнє завдання.

Виконати № 2.122, № 2.127, № 2.131 стор. 158 - 159 [4].