25. Свойство определенного интеграла

Свойства определённого інтеграла

Свойство 1. Производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела. То есть        Свойство 2. Определённый интеграл от суммы функций равен сумме неопределённых интегралов    Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла  Свойство 4. Если на отрезке         , где         , функции          и          удовлетворяют условию         , то 

  Свойство 5. Если          и          - наименьшее и наибольшее значения функции          на отрезке          и         , то 

Свойство 6. Если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования, то определённый интеграл изменит знак 

  Свойство 7. Для любых трёх чисел          справедливо равенство  если только все три интеграла существуют.          Свойство 8 (Теорема о среднем). Если функция          непрерывна на отрезке        , то на этом отрезке найдётся такая точка         , что справедливо равенство: 

26. Методы вычисления определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для аргумента   интеграл вида   является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию  , причем эта функция непрерывная и справедливо равенство  . Действительно, запишем приращение функции  , соответствующее приращению аргумента   и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойст   где  . Перепишем это равенство в виде  . Если вспомнить определение производной функции и перейти к пределу при  , то получим  . То есть,   - это одна из первообразных функции y = f(x) на отрезке [a; b]. Таким образом, множество всех первообразных F(x) можно записать как  , где С – произвольная постоянная. Вычислим F(a), используя первое свойство определенного интеграла:  , следовательно,  . Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b):  , то есть  . Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница  . Приращение функции принято обозначать как  . Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид  . Для применения формулы Ньютона-Лейбница нам достаточно знать одну из первообразныхy=F(x) подынтегральной функции y=f(x) на отрезке [a; b] и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке. В статье методы интегрирования разобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница для разъяснения.

27. Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b]. Множество [a; b] является областью значений некоторой функции x = g(z), которая определена на интервале   и имеет на нем непрерывную производную, причем   и  , тогда  . Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда нам требуется вычислить интеграл  , причем неопределенный интеграл   мы бы искали методом подстановки.